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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Les mêmes substitutions étant employées dans l’expression de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ trouvée ci-dessus, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{\left(s^{2}-h^{2}\right)\left(u^{2}-h^{2}\right)}}={\frac {4\mathrm {B} h^{2}}{s^{2}-u^{2}}}\left({\frac {1}{s^{2}-h^{2}}}-{\frac {1}{u^{2}-h^{2}}}\right),$

et, substituant la valeur de $dt,$

(h)

$d\varphi =\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {B} h^{2}ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {H} s^{4}+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}\\-&{\frac {\mathrm {B} h^{2}du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {H} u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {\left(B^{2}+C\right)} h^{2}}}}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on pouvait intégrer chacune de ces différentielles, on aurait d’abord une équation entre $s$ et $u,$ ensuite on aurait $t$ et $\varphi$ en fonction de $s$ et $u\,;$ donc on aurait $q$ et, de là, $t$ et $\varphi$ en fonction de $r\,;$ et comme

$\sin \psi ={\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2hr}},$

on aurait aussi $\psi$ en $r.$ Mais ces différentielles se rapportant à la rectification des sections coniques, on ne saurait les intégrer que par approximation, et la meilleure méthode pour cela me paraît celle que j’ai donnée ailleurs^[1] pour l’intégration de toutes les différentielles qui renferment un radical carré où la variable monte à la quatrième dimension sous le signe.

82. Si, outre les deux forces ${\frac {\alpha }{r^{2}}}$ et ${\frac {\beta }{q^{2}}}$ qui attirent le corps vers les deux centres fixes, il y avait une troisième force proportionnelle à la distance, qui l’attirât vers le point placé au milieu de la ligne qui joint les deux centres, il est visible que cette force pourrait se décomposer en deux tendantes aux mêmes points, et proportionnelles aussi aux

1. Voir le quatrième Volume des anciens Mémoires de Turin^*.
   (Note de Lagrange.)

   * Œuvres de Lagrange, t. II, p. 253.    G. D.