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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.
tipliées respectivement par
et ajoutées ensemble, donnent une équation intégrable, et dont l’intégrale est celle que nous venons de présenter.
On tire de cette équation
![{\displaystyle {\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}=4\mathrm {H} -2\int \mathrm {R} dr-2\int \mathrm {Q} dq-{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d3a58f697117c5b1ad0427e9308925cf0d5457)
valeur qui, étant substituée dans la première équation multipliée par
la réduit à
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} r{\frac {\partial q}{\partial r}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61f8a8b06a49d8de074c27b9cc2a4a33a0619c4)
Or, puisque
![{\displaystyle q^{2}=r^{2}+h^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ff725ff24a0991d51512778a7ba3d7f85cb6f7)
on aura, en faisant varier ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle q{\frac {\partial q}{\partial r}}=r-(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi -c\sin \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277d4ee0e86cc9631793853a40291df6c6512253)
![{\displaystyle =r-{\frac {r^{2}+h^{2}-q^{2}}{2r}}={\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524195a6604bfe8e2e258f9d6cab991e3dc1c855)
donc, substituant cette valeur de
on aura enfin
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {R} r+2\int \mathrm {R} dr+\mathrm {Q} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2q}}+2\int \mathrm {Q} dq=4\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94a8da34028efc52259bb1c4b9680fbbf542d22)
Cette équation a l’avantage de ne contenir que les deux variables
et
et elle indique en même temps qu’il doit y avoir une pareille équation entre
et
en changeant simplement
et
ainsi que
et
entre elles ; car il est indifférent de rapporter le mouvement du corps à l’un ou à l’autre des deux centres fixes, et il est clair qu’en le rapportant au centre de la force
on trouverait, par une analyse semblable à la précédente,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\left(q^{2}\right)}{2dt^{2}}}+\mathrm {Q} q+2\int \mathrm {Q} dq+\mathrm {R} {\frac {r^{2}+q^{2}-h^{2}}{2r}}+2\int \mathrm {R} dr=4\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ba27fdc1f46ee22002e96fffeb371b4bfa6a20)
ainsi l’on pourra, par ces deux équations, déterminer directement les deux rayons
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)