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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

aux $x,\,y,\,z\,;$ soient, de plus, $\mathrm {Q}$ sa force attractive et $q$ la distance du corps à ce centre ; il est clair qu’on aura

$q={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},$

c’est-à-dire, en substituant pour $x,\,y,\,z$ leurs valeurs en $r,\,\psi ,\,\varphi$ (art. 4),

$q={\sqrt {r^{2}-2r\left[(a\cos \varphi +b\sin \varphi )\cos \psi +c\sin \psi \right]+h^{2}}},$

en faisant $h={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}},$ distance des deux centres.

Il est clair que la valeur de $\mathrm {T}$ sera la même que dans le problème du Chapitre I, mais la valeur de $\mathrm {V}$ se trouvera augmentée du terme $\int \mathrm {Q} dq\,;$ et comme $\mathrm {Q}$ est fonction de $q,$ et $q$ fonction de $r,\,\varphi ,\,\psi ,$ ce terme donnera, dans les différentielles ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }},\,{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}},$ les termes suivants, savoir $\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }},\,\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }},\,\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial r}},$ qu’il faudra, par conséquent, ajouter respectivement aux premiers membres des équations différentielles de l’article cité.

On aura donc, pour le mouvement du corps attiré vers deux centres par les forces $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q} ,$ les trois équations suivantes :

(1)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {r\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{dt^{2}}}+\mathrm {R+Q} {\frac {\partial q}{\partial r}}=0,$

(2)

${\frac {d\left(r^{2}d\psi \right)}{dt^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin \psi \cos \psi d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }}=0,$

(3)

${\frac {d\left(r^{2}\cos ^{2}\psi d\varphi \right)}{dt^{2}}}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}=0.$

Et si le corps était attiré en même temps vers d’autres centres, il n’y aurait qu’à ajouter à ces équations des termes semblables pour chacun de ces centres.

L’équation $\mathrm {T+V=H}$ donnera cette quatrième équation, qui est une intégrale des précédentes,

${\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{2dt^{2}}}+\int \mathrm {R} dr+\int \mathrm {Q} dq=2\mathrm {H} \,;$

et il est visible, en effet, que les trois équations précédentes, étant mul-