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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

soit que $\delta \Pi$ soit une différentielle complète ou non ; et, dénotant par les mêmes lettres marquées d’un trait, de deux traits, les quantités analogues relatives aux corps $\mathrm {m',\,m''} ,\ldots ,$ on fera de plus

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {m\delta \Pi +m'\delta \Pi '+m''\delta \Pi ''} +\ldots .$

Si, outre ces forces dirigées vers des centres donnés, il y avait des forces d’attraction mutuelle entre toutes les molécules des corps $\mathrm {m}$ et $\mathrm {m} ',$ en nommant $r$ la distance de ces corps, regardés comme des points, et $\mathrm {R}$ la force d’attraction, dépendante de la distance ou non, il faudrait ajouter à $\delta \mathrm {V}$ le terme $mm'\mathrm {R} \delta r,$ et ainsi pour tous les autres corps qui s’attireraient mutuellement.

Or, les corps étant supposés libres, les coordonnées qui déterminent leur position dans l’espace sont indépendantes, et chacune d’elles, comme, donnera une équation de la forme

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0.$

2. Lorsque les quantités $\delta \Pi ,\,\delta \Pi ',\ldots$ sont des différentielles complètes, ce qui a toujours lieu dans le cas où les forces sont proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances aux centres d’attraction, lequel est celui de la nature, il sera plus simple de prendre d’abord les intégrales $\Pi ,\,\Pi ',\ldots ,$ lesquelles seront

${\begin{aligned}&\Pi \ =\int \mathrm {R} \ dr+\int \mathrm {Q} \ dr+\int \mathrm {P} \ dr+\ldots ,\\&\Pi '=\int \mathrm {R} 'dr+\int \mathrm {Q} 'dr+\int \mathrm {P} 'dr+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et la quantité $\mathrm {V}$ deviendra

$\mathrm {V=m\Pi +m'\Pi '+m''\Pi ''} +\ldots .$

laquelle étant réduite en fonction des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\,\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\ldots ,$ il sera aisé d’en déduire par la différentiation les différences partielles ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \eta }},\ldots .$ Dans ce cas, si les fonctions $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ ne renferment point