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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

diculairement à la surface courbe dont l’équation sera $d\mathrm {L} ''=0,$ en n’y regardant que $x'',\,y'',\,z''$ comme variables, et ainsi de suite.

Donc, en général, le terme $\lambda d\mathrm {L}$ sera équivalent à l’effet de différentes forces exprimées par

$\lambda {\sqrt {\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}\right)^{2}}},\quad \lambda {\sqrt {\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x''}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y''}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z''}}\right)^{2}}},\quad \ldots ,$

et appliquées respectivement aux corps qui répondent aux coordonnées $x',\,y',\,z',$ $x'',\,y'',\,z'',\ldots$ suivant des directions perpendiculaires aux différentes surfaces courbes représentées par l’équation $d\mathrm {L} =0,$ en y faisant varier premièrement $x',\,y',\,z',$ ensuite $x'',\,y'',\,z'',$ et ainsi du reste.

6. En général, on pourra regarder le terme $\lambda d\mathrm {L}$ comme le moment d’une force^[1] $\lambda$ tendante à faire varier la valeur de la fonction $\mathrm {L} ,$ et, comme $d\mathrm {L} =d\mathrm {L} '+d\mathrm {L} ''+\ldots ,$ le terme $\lambda d\mathrm {L}$ exprimera les moments de plusieurs forces égales à $\lambda$ et tendantes à faire varier la fonction $\mathrm {L} ,$ en ayant égard séparément à la variabilité des différentes coordonnées $x',y',z',$ $x'',y'',z'',\ldots .$ Il en sera de même des termes $\mu d\mathrm {M} ,\nu d\mathrm {N} ,\ldots$ (sect. II, art. 9).

Comme, dans l’équation générale de l’équilibre (art. 3), les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ sont supposées dirigées vers des centres auxquels aboutissent les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ et, par conséquent, tendantes à diminuer ces lignes, il faudra également regarder les forces $\lambda ,\mu ,\ldots$ comme tendantes à diminuer les valeurs des fonctions $\mathrm {L,\,M} ,\ldots .$

7. Il résulte de là que chaque équation de condition est équivalente à une ou plusieurs forces appliquées au système, suivant des directions données, ou, en général, tendantes à faire varier les valeurs de fonctions données^[2] ; en sorte que l’état d’équilibre du système sera le

1. Voir, à ce sujet, la note de l’article 9, sect. II. (J. Bertrand.)
   
2. Cette proposition importante a la même généralité que le principe des vitesses virtuelles, et elle est souvent d’une application plus commode. Lagrange y a été conduit en