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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

tive, et, par conséquent, que les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ fussent négatifs et réciproquement, si ces coefficients sont négatifs, il s’ensuivra que la valeur de $\mathrm {X}$ sera nécessairement négative.

25. On aura donc, en ne tenant compte que des secondes dimensions des quantités très petites $x,\,y,\,z,\ldots ,$

$\Pi =\mathrm {A} +f\xi ^{2}+g\eta ^{2}+h\zeta ^{2}+\ldots ,$

et l’équation de la conservation des forces vives (art. 22) deviendra

$\mathrm {M} 'u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\mathrm {M} '''u'''^{2}+\ldots =\mathrm {const} .\,-2\mathrm {A} -2f\xi ^{2}-2g\eta ^{2}-2h\zeta ^{2}-\ldots .$

Or, dans l’état d’équilibre, on a, par hypothèse,

$x=0,\qquad y=0,\qquad z=0,\qquad \ldots \,;$

donc aussi (art. 19)

$\xi =0,\qquad \eta =0,\qquad \zeta =0,\qquad \ldots \,;$

donc, si l’on suppose qu’on dérange le système de cet état, en imprimant aux corps $\mathrm {M',\,M'',\,M'''} ,\ldots$ les vitesses très petites $\mathrm {V',\,V'',\,V'''} ,\ldots ,$ il faudra que l’on ait $u'=\mathrm {V} ',\ u''=\mathrm {V} '',\ u'''=\mathrm {V} ''',\ldots$ lorsque $\xi =0,\,\eta =0,\,\zeta =0.$ On aura donc

$\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots =\mathrm {const} .-2\mathrm {A} \,;$

ce qui servira à déterminer la constante arbitraire.

Ainsi l’équation précédente deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {M} '&u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\mathrm {M} '''u'''^{2}+\ldots \\&=\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots -2f\xi ^{2}-2g\eta ^{2}-2h\zeta ^{2}-\ldots \,;\end{aligned}}$

d’où il est aisé de tirer ces deux conclusions :

1^o Que, dans le cas du minimum de $\Pi ,$ dans lequel les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ sont tous positifs, la quantité toujours positive

$2f\xi ^{2}+2g\eta ^{2}+2h\zeta ^{2}+\ldots$

devra nécessairement être moindre, ou du moins ne pourra pas être plus grande que la quantité donnée $\mathrm {M'V'^{2}+M''V''^{2}+M'''V'''^{2}} +\ldots ,$ qui