Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/90

72

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On aura donc, pour une situation quelconque très proche de celle de l’équilibre, cette expression de $\Pi$

$\Pi =\mathrm {A} +\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots ,$

dans laquelle, tant que les variables $x,\,y,\,z,\ldots$ sont très petites, il suffira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables.

24. Maintenant il est clair que, pour que la quantité $\Pi$ soit un minimum, lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont nulles, il faut que la fonction

$\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots ,$

que je nommerai $\mathrm {X} ,$ soit constamment positive, quelles que soient les valeurs des variables $x,\,y,\,z,\ldots .$

Or cette fonction est réductible à la forme

$\mathrm {X} =f\xi ^{2}+g\eta ^{2}+h\zeta ^{2}+\ldots ,$

en faisant

${\begin{aligned}f=&\mathrm {F} ,\\\xi =&x+{\frac {\mathrm {G} y}{2f}}+{\frac {\mathrm {K} z}{2f}}+\ldots ,\\g=&\mathrm {H} -{\frac {\mathrm {G} ^{2}}{4f}},\\\eta =&y+\left(\mathrm {L} -{\frac {\mathrm {GK} }{2f}}\right){\frac {z}{2g}}+\ldots ,\\h=&\mathrm {M} -{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4f}}-{\frac {\mathrm {L} ^{2}}{4g}},\\\zeta =&z+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots ..\end{aligned}}$

Donc, pour qu’elle soit toujours positive, il faudra que les coefficients $f,\,g,\,h,\ldots$ soient positifs ; et l’on voit en même temps que, si ces coefficients sont positifs, la valeur de $\mathrm {X}$ sera nécessairement positive, puisque les quantités $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,\ldots$ sont réelles lorsque les variables $x,\,y,\,z,\ldots$ le sont.

Si, au contraire, la quantité $\Pi$ devait être un maximum lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont nuls, il faudrait que la fonction $\mathrm {X}$ fût constamment néga-