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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

mum, lorsque la position du système est celle de l’équilibre ; nous allons maintenant démontrer que, si cette fonction est un minimum, l’équilibre aura de la stabilité, en sorte que, le système étant d’abord supposé dans l’état d’équilibre et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s’y remettre en faisant des oscillations infiniment petites qu’au contraire, dans le cas où la même fonction sera un maximum, l’équilibre n’aura pas de stabilité, et qu’étant une fois troublé, le système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très petites, et qui pourront l’écarter de plus en plus de son premier état.

Pour démontrer cette proposition d’une manière générale, je considère que, quelle que puisse être la forme du système, sa position, c’est-à-dire celle des différents corps qui le composent, sera toujours déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité $\Pi$ sera une fonction donnée de ces mêmes variables. Supposons que, dans la situation d’équilibre, les variables dont il s’agit soient égales à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ et que, dans une situation très proche de celle-ci, elles soient $a+x,\,b+y,\,c+z,\ldots ,$ les quantités $x,\,y,\,z,\ldots$ étant très petites ; substituant ces dernières valeurs dans la fonction $\Pi$ et réduisant en série suivant les dimensions des quantités très petites $x,\,y,\,z,\ldots ,$ la fonction $\Pi$^[1] deviendra de cette forme

${\begin{aligned}\Pi =&\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} y+\mathrm {D} z+\ldots \\&+\mathrm {F} x^{2}+\mathrm {G} xy+\mathrm {H} y^{2}+\mathrm {K} xz+\mathrm {L} yz+\mathrm {M} z^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {A,\,B,\,C} ,\ldots$ étant données en $a,\,b,\,c,\ldots .$ Mais, dans l’état d’équilibre, la valeur de $d\Pi$ doit être nulle, de quelque manière qu’on fasse varier la position du système ; donc il faudra que la différentielle de $\Pi$ soit nulle en général, lorsque $x,\,y,\,z,\ldots$ sont égales à zéro ; donc

$\mathrm {B} =0,\qquad \mathrm {C} =0,\qquad \mathrm {D} =0,\quad \ldots .$

1. M. Lejeune-Dirichlet a simplifié cette démonstration en la rendant plus rigoureuse. (Voir Journal de Crelle, t. 32, et Journal de Liouville, I^re série, t. XII, p. 474.) (J. Bertrand.)