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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

provenant de la gravité, sont, comme l’on sait, proportionnelles aux masses des corps et, par conséquent, constantes ; et les distances $p,\,q,\,r,\ldots$ concourent au centre de la Terre. On aura donc, dans ce cas,

$\Pi =\mathrm {P} p+\mathrm {Q} q+\mathrm {R} r+\ldots \,;$

par conséquent, puisque les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ sont censées parallèles, la quantité ${\frac {\Pi }{\mathrm {P+Q+R+\ldots } }}$ exprimera la distance du centre de gravité de tout le système au centre de la Terre, laquelle sera donc un minimum ou un maximum, lorsque le système sera en équilibre ; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaînette, et un maximum dans le cas de plusieurs globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis longtemps.

22. Si, maintenant, on considère le même système en mouvement, et que $u',\,u'',\,u''',\ldots$ soient les vitesses, et $m',\,m'',\,m''',\ldots$ les masses respectives des différents corps qui le composent, le principe si connu de la conservation des forces vives, dont nous donnerons une démonstration directe et générale dans la seconde Partie, fournira cette équation

$m'u'^{2}+m''u''^{2}+m'''u'''^{2}+\ldots =\mathrm {const} .-2\Pi .$

Donc, puisque, dans l’état d’équilibre, la quantité est un minimum ou un maximum, il s’ensuit que la quantité $m'u'^{2}+m''u''^{2}+m'''u'''^{2}+\ldots$ qui exprime la force vive de tout le système, sera en même temps un maximum ou un minimum ; ce qui donne cet autre principe de Statique, que, de toutes les situations que prend successivement le système, celle où il a la plus grande ou la plus petite force vive est aussi celle où il le faudrait placer d’abord pour qu’il restât en équilibre. [Voir les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1748 et 1749^[1].]

23. On vient de voir que la fonction $\Pi$ est un minimum ou un maxi-

1. Ce principe y est énoncé, sans démonstration suffisante, par un géomètre peu connu, de Courtivron. Lagrange le citait dans la première édition de son Ouvrage ; dans la seconde, il a fait disparaître son nom pour y substituer la date du Mémoire. (J. Bertrand.)