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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

§ V. — Propriétés de l’équilibre, relatives aux maxima et minima.

21. Nous allons considérer maintenant les maxima et minima qui peuvent avoir lieu dans l’équilibre ; et, pour cela, nous reprendrons la formule générale

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =0$

de l’équilibre entre les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ dirigées suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ qui aboutissent aux centres de ces forces (sect. II, art. 4).

On peut supposer^[1] que ces forces soient exprimées de manière que la quantité $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ soit une différentielle exacte d’une fonction de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ laquelle soit représentée par $\Pi ,$ en sorte que l’on ait

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

Alors on aura pour l’équilibre cette équation $d\Pi =0,$ laquelle fait voir que le système doit être disposé de manière que la fonction $\Pi$ y soit, généralement parlant, un maximum ou un minimum.

Je dis généralement parlant, car on sait que l’égalité d’une différentielle à zéro n’indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes.

La supposition précédente a lieu, en général, lorsque les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, ce qui est proprement le cas de la nature.

Ainsi, dans cette hypothèse de forces, le système sera en équilibre lorsque la fonction $n$ sera un maximum ou un minimum ; c’est en quoi consiste le principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi de repos.

Dans un système de corps pesants en équilibre, les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots ,$

le Chapitre III de la Statique de Poinsot, la quatrième Leçon des Vorlesungen über Dynamik de Jacobi et enfin divers Mémoires insérés aux tomes VI et VII du Bulletin de la société mathématique de France. (G. D.)


1. Lagrange ne veut pas dire qu’il en soit toujours ainsi ; il prévient seulement que les développements qui suivent se rapportent au cas où cela a lieu. (J. Bertrand.)