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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Les quantités $\mathrm {P,\,P',\,P''} ,\ldots$ représentent les poids ou les masses des corps qui leur sont proportionnels, et les quantités $x,\,y,\,z,$ $x',\,y',\,z',\,x'',\ldots$ sont les coordonnées rectangles de ces corps. Or nous avons vu (art. 19) que, lorsque l’origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations précédentes $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0,$ $\mathrm {Z} =0,$ qu’on les ajoute ensemble, et qu’on suppose, pour abréger,

$f^{2}+g^{2}+h^{2}=r^{2},$

${\begin{alignedat}{4}&(x&-f)^{2}+&(y&-g)^{2}+&(z&-h)^{2}=&(0)^{2},\\&(x'&-f)^{2}+&(y'&-g)^{2}+&(z'&-h)^{2}=&(1)^{2},\\&(x''&-f)^{2}+&(y''&-g)^{2}+&(z''&-h)^{2}=&(1)^{2},\end{alignedat}}$

 

${\begin{alignedat}{7}&(x&-&x')^{2}&+&(y&-&y')^{2}&+&(z&-&z')^{2}&=&(0,1)^{2},\\&(x&-&x'')^{2}&+&(y&-&y'')^{2}&+&(z&-&z'')^{2}&=&(0,2)^{2},\\&(x'&-&x'')^{2}&+&(y'&-&y'')^{2}&+&(z'&-&z'')^{2}&=&(1,2)^{2},\end{alignedat}}$

 

on aura, après avoir divisé par $(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )^{2},$

$r^{2}=\mathrm {\frac {P(0)^{2}+P'(1)^{2}+P''(2)^{2}+\ldots }{P+P'+P''+\ldots }} \,\mathrm {-\,{\frac {PP'(0,1)^{2}+PP''(0,2)^{2}+P'P''(1,2)^{2}+\ldots }{(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )^{2}}}} .$

Si l’on prend maintenant les trois quantités $f,\,g,\,h$ pour les coordonnées rectangles d’un point donné, il est visible que $r$ sera la distance de ce point au centre de gravité qui est supposé dans l’origine des coordonnées, que $(0),\,(1),\,(2),\ldots$ seront les distances des poids $\mathrm {P,\,P',\,P''} ,\ldots$ à ce même point, et que $(0,1),\,(0,2),\,(1,2),\ldots$ seront les distances entre les corps ou poids $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} ',$ $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '',$ $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {P} '',\ldots$ Donc l’équation ci-dessus deviendra

$r^{2}=\mathrm {B-A} ,$

d’où l’on tire^[1]

$r=\mathrm {\sqrt {B-A}} .$

1. On pourra consulter au sujet de ce théorème le Mémoire de Lagrange Sur une nouvelle propriété du centre de gravité, inséré au tome V des Œuvres de Lagrange, p. 535,