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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.
rapporte les différents corps du système, et qu’elle sert à déterminer leur centre de gravité par la simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste.
Soit 
la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées de plus par le carré de leur distance respective, cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des masses.
Soit 
la somme des produits de chaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné, cette somme étant divisée par la somme des masses.
On aura 
pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi, comme la quantité est indépendante de ce point, si l’on détermine les valeurs de par rapport à trois points différents pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points et, par conséquent, sa position par rapport à ces points. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n’en faudrait qu’un seul si tous les corps étaient sur une ligne droite donnée.
En prenant les points donnés dans les corps mêmes du système, la position de son centre de gravité sera donnée uniquement par les masses et par leurs distances respectives. C’est en quoi consiste le principal avantage de cette manière de déterminer le centre de gravité.
Pour la démontrer, je reprends les expressions de 
de l’article 18, et, prenant de plus trois quantités arbitraires 
je forme ces trois équations identiques, faciles à vérifier :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\mathrm {X-(P+P'+P''+\ldots )} f\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (x-f)^{2}+\mathrm {P} '(x'-f)^{2}+\mathrm {P} ''(x''-f)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(x-x')^{2}-\mathrm {PP} ''(x-x'')^{2}-\mathrm {P'P} ''(x'-x'')^{2}-\ldots ,\\&\left[\mathrm {Y-(P+P'+P''+\ldots )} g\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (y-g)^{2}+\mathrm {P} '(y'-g)^{2}+\mathrm {P} ''(y''-g)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(y-y')^{2}-\mathrm {PP} ''(y-y'')^{2}-\mathrm {P'P''} (y'-y'')^{2}-\ldots ,\\&\left[\mathrm {Z-(P+P'+P''+\ldots )} h\right]^{2}\\&\quad =(\mathrm {P+P'+P''} +\ldots )\left[\mathrm {P} (z-h)^{2}+\mathrm {P} '(z'-h)^{2}+\mathrm {P} ''(z''-h)^{2}+\ldots \right]\\&\qquad -\mathrm {PP} '(z-z')^{2}-\mathrm {PP} ''(z-z'')^{2}-\mathrm {P'P''} (z'-z'')^{2}-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14371d1a6082ba8cff6e2660a6c83fbdc1ad14f8)
