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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

§ IV. — Propriétés de l’équilibre, relatives au centre de gravité.

18. Si, dans les formules de l’article 9, on suppose que toutes les forces $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura

$\alpha =\alpha '=\alpha ''=\ldots ,\quad \beta =\beta '=\beta ''=\ldots ,\quad \gamma =\gamma '=\gamma ''=\ldots \,;$

par conséquent, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {X} &=&\mathrm {P} x+&\mathrm {P} 'x'+&\mathrm {P} ''x''+\ldots ,\\&\mathrm {Y} &=&\mathrm {P} y+&\mathrm {P} 'y'+&\mathrm {P} ''y''+\ldots ,\\&\mathrm {Z} &=&\mathrm {P} z+&\mathrm {P} 'z'+&\mathrm {P} ''z''+\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $\mathrm {L,M,N}$ deviendront

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {L} &=&\mathrm {Y} \cos \gamma -&\mathrm {Z} \cos \beta ,\\&\mathrm {M} &=&\mathrm {Z} \cos \alpha -&\mathrm {X} \cos \gamma ,\\&\mathrm {N} &=&\mathrm {X} \cos \beta -&\mathrm {Y} \cos \alpha ,\end{alignedat}}$

et les équations de l’équilibre seront

$\mathrm {L=0,\quad M=0,\quad N=0} ,$

dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d’ailleurs (Sect. II, art. 7) l’équation

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

on pourra déterminer par ces équations les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}\cos \alpha =&\mathrm {\frac {X}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \beta =&\mathrm {\frac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \gamma =&\mathrm {\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} .\end{aligned}}$

Donc, la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit,