65
PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.
§ IV. — Propriétés de l’équilibre, relatives au centre de gravité.
18. Si, dans les formules de l’article 9, on suppose que toutes les forces
agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura
![{\displaystyle \alpha =\alpha '=\alpha ''=\ldots ,\quad \beta =\beta '=\beta ''=\ldots ,\quad \gamma =\gamma '=\gamma ''=\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0299f2f1867196d1014afa8a59f523500cfffc)
par conséquent, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\mathrm {X} &=&\mathrm {P} x+&\mathrm {P} 'x'+&\mathrm {P} ''x''+\ldots ,\\&\mathrm {Y} &=&\mathrm {P} y+&\mathrm {P} 'y'+&\mathrm {P} ''y''+\ldots ,\\&\mathrm {Z} &=&\mathrm {P} z+&\mathrm {P} 'z'+&\mathrm {P} ''z''+\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6884748a0645828c9b2e5884992eb0c996131867)
les quantités
deviendront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&\mathrm {L} &=&\mathrm {Y} \cos \gamma -&\mathrm {Z} \cos \beta ,\\&\mathrm {M} &=&\mathrm {Z} \cos \alpha -&\mathrm {X} \cos \gamma ,\\&\mathrm {N} &=&\mathrm {X} \cos \beta -&\mathrm {Y} \cos \alpha ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c4721d1c4b328da100752c8e0eb4b19a746310)
et les équations de l’équilibre seront
![{\displaystyle \mathrm {L=0,\quad M=0,\quad N=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9165581a989de78d43c0fd4e81a620c558146bc5)
dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d’ailleurs (Sect. II, art. 7) l’équation
![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3730cde03987e62154151ec458b1c2c0649067)
on pourra déterminer par ces équations les angles
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha =&\mathrm {\frac {X}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \beta =&\mathrm {\frac {Y}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} ,\\\cos \gamma =&\mathrm {\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3699e86bf5b638dbb13a716cd213d82ab821818c)
Donc, la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra, pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit,