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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

17. Si l’on suppose les rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ proportionnelles à $\mathrm {L,M,N} ,$ et qu’on fasse

$\mathrm {H={\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}}} ,$

on aura, par l’article 11,

$\mathrm {L=H\cos \lambda ,\quad M=H\cos \mu ,\quad N=H\cos \nu } ,$

et les trois moments qu’on vient de trouver se réduiront, par les relations de l’article 14, à cette forme simple

$\mathrm {H\cos \varpi ',\quad H\cos \varpi '',\quad H\cos \varpi '''} .$

Or $\varpi ',\varpi '',\varpi '''$ sont les angles que les axes des rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ font avec l’axe de la rotation composée $d\theta .$ Donc ; si l’on fait coïncider l’axe de la rotation $d\theta '$ avec l’axe de la rotation $d\theta ,$ on a $\varpi '=0$ et $\varpi '',\varpi '''$ chacun égal à un angle droit ; par conséquent, le moment autour de cet axe sera simplement $\mathrm {H} ,$ et les deux autres moments autour des axes perpendiculaires à celui-ci deviendront nuls.

D’où l’on conclut que des moments égaux à $\mathrm {L,M,N} ,$ et relatifs à trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique $\mathrm {H}$ égal à $\mathrm {\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}} ,$ et relatif à un axe qui fait avec ceux-là les angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

$\mathrm {\cos \lambda ={\frac {L}{H}},\quad \cos \mu ={\frac {M}{H}},\quad \cos \nu ={\frac {N}{H}}} ,$

Ce sont les théorèmes connus sur la composition des moments ; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvements rectilignes. On aurait pu la déduire immédiatement de la composition des rotations instantanées, en substituant les moments aux rotations qu’ils produisent, comme Varignon a substitué les forces aux mouvements rectilignes^[1].

1. Cette assimilation n’est pas permise. Une force qui agit sur un corps solide mobile autour d’un axe donné produit une rotation proportionnelle à son moment ; mais, pour deux axes différents, les moments d’inertie jouent un rôle, et l’on n’a pas le droit de substituer les moments aux rotations qu’ils produisent. (Voir, à ce sujet, un Mémoire de Poinsot, Mémoires de l’Institut, t. VII, p. 564.) (J. Bertrand.)