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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

tions autour d’un même axe s’ajoutent ou se retranchent suivant qu’elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvements qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la décomposition des mouvements de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mouvements rectilignes, en substituant aux mouvements de rotation des mouvements rectilignes, suivant la direction des axes de rotation.

16. Maintenant, si dans la formule de l’article 9,

$\mathrm {L} d\psi +\mathrm {M} d\omega +\mathrm {N} d\varphi ,$

laquelle contient les termes dus aux rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ dans la formule générale $\mathrm {P} dp+\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {P} ''dp''+\ldots ,$ on substitue pour $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ les expressions trouvées dans l’article 13, elle devient

${\begin{alignedat}{2}&(\mathrm {L} \cos \lambda '&+&\mathrm {M} \cos \mu '&+&\mathrm {N} \cos \nu '\ \,)d\theta '\\+&(\mathrm {L} \cos \lambda ''&+&\mathrm {M} \cos \mu ''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''\ )d\theta ''\\+&(\mathrm {L} \cos \lambda '''&+&\mathrm {M} \cos \mu '''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''')d\theta '''.\end{alignedat}}$

Donc, par l’article 7, les coefficients des angles élémentaires $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ exprimeront les sommes des moments relatifs aux axes des rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''.$ Ainsi, des moments égaux à $\mathrm {L,M,N} ,$ et relatifs à trois axes rectangulaires, donnent les moments

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {L} \cos \lambda '&+&\mathrm {M} \cos \mu '&+&\mathrm {N} \cos \nu ',\\&\mathrm {L} \cos \lambda ''&+&\mathrm {M} \cos \mu ''&+&\mathrm {N} \cos \nu '',\\&\mathrm {L} \cos \lambda '''&+&\mathrm {M} \cos \mu '''&+&\mathrm {N} \cos \nu ''',\end{alignedat}}$

relatifs à trois autres axes rectangulaires qui font respectivement avec ceux-là les angles $\lambda ',\mu ',\nu '\,;\lambda '',\mu '',\nu ''\,;\lambda ''',\mu ''',\nu '''.$

On trouve une démonstration géométrique de ce théorème dans le Tome VII des Nova Acta de l’Académie de Pétersbourg^[1].

1. Cette démonstration est d’Euler. (J. Bertrand.)