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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ en $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ en ajoutant ensemble les valeurs de $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ multipliées successivement par $\cos \lambda ',\cos \lambda '',\cos \lambda '''\,;$ $\cos \mu ',\cos \mu '',\ldots \,;$ on trouvera de cette manière

${\begin{alignedat}{3}&d\psi =&\cos \lambda 'd\theta '+&\cos \lambda ''d\theta ''+&\cos \lambda '''d\theta ''',\\&d\omega =&\cos \mu 'd\theta '+&\cos \mu ''d\theta ''+&\cos \mu '''d\theta ''',\\&d\varphi =&\cos \nu 'd\theta '+&\cos \nu ''d\theta ''+&\cos \nu '''d\theta '''.\end{alignedat}}$

14. Si l’on nomme, de plus, $\varpi ',\varpi '',\varpi '''$ les angles que l’axe de la rotation composée $d\theta$ fait avec les axes des trois rotations partielles $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ on aura, comme dans l’article 11,

$d\theta '=\cos \varpi 'd\theta ,\quad d\theta ''=\cos \varpi ''d\theta ,\quad d\theta '''=\cos \varpi '''d\theta \,;$

et si, dans les expressions données ci-dessus (art. 12) de $d\theta ',d\theta '',d\theta ''',$ on met pour $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ leurs valeurs en $d\theta$ de l’article 11, $\cos \lambda d\theta ,$ $\cos \mu d\theta ,\cos \nu d\theta ,$ la comparaison de ces différentes expressions de $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ donnera, en divisant par $d\theta$ ces nouvelles relations,

${\begin{alignedat}{4}&\cos \varpi '&=&\cos \lambda \cos \lambda '&+&\cos \mu \cos \mu '&+&\cos \nu \cos \nu ',\\&\cos \varpi ''&=&\cos \lambda \cos \lambda ''&+&\cos \mu \cos \mu ''&+&\cos \nu \cos \nu '',\\&\cos \varpi '''&=&\cos \lambda \cos \lambda '''&+&\cos \mu \cos \mu '''&+&\cos \nu \cos \nu ''',\end{alignedat}}$

qu’on peut aussi vérifier par la Géométrie.

15. On voit par là que ces compositions et décompositions des mouvements de rotation sont entièrement analogues à celles des mouvements rectilignes.

En effet si, sur les trois axes des rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ on prend, depuis leur point d’intersection, des lignes proportionnelles respectivement à $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ et que l’on construise sur ces trois lignes un parallélépipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélépipède sera l’axe de la rotation composée $d\theta$ et sera en même temps proportionnelle à cette rotation $d\theta .$ De là, et de ce que les rota-