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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

les angles $\lambda ,\mu ,\nu \,;$ ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements instantanés ou les vitesses de rotation.

Ainsi, si l’on prend trois autres axes rectangulaires entre eux, qui fassent, avec l’axe de la rotation $d\psi$ les angles $\lambda ',\lambda '',\lambda ''',$ avec l’axe de la rotation $d\omega$ les angles $\mu ',\mu '',\mu ''',$ et avec l’axe de la rotation $d\varphi$ les angles $\nu ',\nu '',\nu ''',$ la rotation $d\psi$ pourra se résoudre en trois rotations $\cos \lambda 'd\psi ,$ $\cos \lambda ''d\psi ,$ $\cos \lambda '''d\psi$ autour de ces nouveaux axes ; la rotation $d\omega$ se résoudra de même en trois rotations $\cos \mu 'd\omega ,\cos \mu ''d\omega ,\cos \mu '''d\omega ,$ et la rotation $d\varphi$ en trois rotations $\cos \nu 'd\varphi ,\cos \nu ''d\varphi ,\cos \nu '''d\varphi$ autour des mêmes axes ; de sorte qu’en ajoutant ensemble les rotations autour d’un même axe, si l’on nomme $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ les rotations totales autour des trois nouveaux axes, on aura

${\begin{alignedat}{5}&d\theta '&=&\cos \lambda '&d\psi +&\cos \mu '&d\omega +&\cos \nu '&d\varphi ,\\&d\theta ''&=&\cos \lambda ''&d\psi +&\cos \mu ''&d\omega +&\cos \nu ''&d\varphi ,\\&d\theta '''&=&\cos \lambda '''&d\psi +&\cos \mu '''&d\omega +&\cos \nu '''&d\varphi .\end{alignedat}}$

13. Les rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ sont donc réduites de cette manière à trois rotations $d\theta ',d\theta '',d\theta '''$ autour de trois autres axes rectangulaires, lesquelles doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation $d\theta$ qui résulte des rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ de sorte qu’on aura (art. 11)

$d\theta ^{2}=d\theta '^{2}+d\theta ''^{2}+d\theta '''^{2}=d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}\,;$

et, comme cette dernière équation doit être identique, il s’ensuit qu’on aura ces relations :

${\begin{alignedat}{3}&\cos ^{2}\lambda '+&\cos ^{2}\lambda ''+&\cos ^{2}\lambda '''=&1,\\&\cos ^{2}\mu '+&\cos ^{2}\mu ''+&\cos ^{2}\mu '''=&1,\\&\cos ^{2}\nu '+&\cos ^{2}\nu ''+&\cos ^{2}\nu '''=&1\,;\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{4}&\cos \lambda '\cos \mu '+&\cos \lambda ''\cos \mu ''+&\cos \lambda '''\cos \mu '''=&0,\\&\cos \lambda '\cos \nu '+&\cos \lambda ''\cos \nu ''+&\cos \lambda '''\cos \nu '''=&0,\\&\cos \mu '\cos \nu '+&\cos \mu ''\cos \nu ''+&\cos \mu '''\cos \nu '''=&0,\end{alignedat}}$

qu’on peut aussi trouver par la Géométrie.