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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Le carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

il sera exprimé par

${\begin{aligned}&\left[(z\cos \mu -y\cos \nu )^{2}+(x\cos \nu -z\cos \lambda )^{2}+(y\cos \lambda -x\cos \mu )^{2}\right]d\theta ^{2}\\&\quad =\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x\cos \lambda +y\cos \mu +z\cos \nu )^{2}\right]d\theta ^{2},\end{aligned}}$

à cause de

$\cos ^{2}\lambda +\cos ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu =1.$

Or il est facile de prouver que

$x\cos \lambda +y\cos \mu +z\cos \nu =0$

est l’équation d’un plan passant par l’origine des coordonnées et perpendiculaire à la droite qui fait les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ avec les axes des $x,y,z\,;$ donc le petit espace décrit par un point quelconque de ce plan sera

$d\theta {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et, comme l’axe instantané de rotation est perpendiculaire à ce même plan, il s’ensuit que $d\theta$ sera l’angle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ autour des trois axes des coordonnées.

12. Il suit de là que des rotations quelconques instantanées $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se composent en une seule $d\theta ={\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}},$ autour d’un axe passant par le même point d’intersection et faisant avec ceux-là des angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

$\cos \lambda ={\frac {d\psi }{d\theta }},\quad \cos \mu ={\frac {d\omega }{d\theta }},\quad \cos \nu ={\frac {d\varphi }{d\theta }}\,;$

et, réciproquement, qu’une rotation quelconque $d\theta$ autour d’un axe donné peut se décomposer en trois rotations partielles, exprimées par $\cos \lambda d\theta ,$ $\cos \mu d\theta ,$ $\cos \nu d\theta ,$ autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l’axe donné et qui fassent avec cet axe