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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

correspondantes $dx,dy,dz$ seront nulles, comme on le voit par les formules de l’article 8. Ce point, et tous ceux qui auront la même propriété, seront donc immobiles pendant l’instant que le système décrit les trois angles $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ en tournant à la fois autour des axes des $x,y,z.$ Et il est facile de voir que tous ces points seront dans une ligne droite passant par l’origine des coordonnées^[1] et faisant avec les axes des $x,y,z$ des angles $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que

{\begin{aligned}\cos \lambda =&{\frac {d\psi }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}},\\\cos \mu =&{\frac {d\omega }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}},\\\cos \nu =&{\frac {d\varphi }{\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}}}.\end{aligned}}

Cette droite sera l’axe instantané de la rotation composée.

En employant les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ et faisant, pour abréger,

d\theta ={\sqrt {d\psi ^{2}+d\omega ^{2}+d\varphi ^{2}}},

on aura

d\psi =d\theta \cos \lambda ,\quad d\omega =d\theta \cos \mu ,\quad d\varphi =d\theta \cos \nu ,

et les expressions générales de $dy,dy,dz$ (art. 8) deviendront

{\begin{aligned}dx=&(z\cos \mu -y\cos \nu )d\theta ,\\dy=&(x\cos \nu -z\cos \lambda )d\theta ,\\dz=&(y\cos \lambda -x\cos \mu )d\theta .\end{aligned}}

↑ En rapprochant ces résultats de ceux qui ont été obtenus dans le paragraphe précédent, on voit qu’un mouvement quelconque infiniment petit d’un corps solide qui a un point fixe peut être considéré comme une rotation autour d’un axe. Ce beau théorème est dû à Euler, qui en a donné une démonstration géométrique très simple. Euler avait aussi traité la question analytiquement. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1750.) Vingt-cinq ans plus tard, Euler reprend ce théorème dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg pour 1775, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui s’applique aux mouvements finis, il avoue que la preuve analytique exige des calculs si prolixes, qu’il a renoncé à les exécuter. Son Mémoire se termine ainsi : « Nemo vero stupendum hunc laborem in se suscipere volet…… quamobrem egregia ista proprietas geometris pulcherrimam occasionem præbere potest vires suas in ista proprietate penitus enucleanda exercendi. » (Novi Commentarii, p. 207 ; 1775.) Dans le Journal de Liouville (I^re série, t. V, p. 406), Olinde Rodrigues a donné, d’une manière très élégante, cette démonstration désirée par Euler.(J. Bertrand.)

[1] En rapprochant ces résultats de ceux qui ont été obtenus dans le paragraphe précédent, on voit qu’un mouvement quelconque infiniment petit d’un corps solide qui a un point fixe peut être considéré comme une rotation autour d’un axe. Ce beau théorème est dû à Euler, qui en a donné une démonstration géométrique très simple. Euler avait aussi traité la question analytiquement. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1750.) Vingt-cinq ans plus tard, Euler reprend ce théorème dans les Commentaires de Saint-Pétersbourg pour 1775, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui s’applique aux mouvements finis, il avoue que la preuve analytique exige des calculs si prolixes, qu’il a renoncé à les exécuter. Son Mémoire se termine ainsi : « Nemo vero stupendum hunc laborem in se suscipere volet…… quamobrem egregia ista proprietas geometris pulcherrimam occasionem præbere potest vires suas in ista proprietate penitus enucleanda exercendi. » (Novi Commentarii, p. 207 ; 1775.) Dans le Journal de Liouville (I^re série, t. V, p. 406), Olinde Rodrigues a donné, d’une manière très élégante, cette démonstration désirée par Euler.(J. Bertrand.)

[1]