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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

d’où

${\begin{aligned}d\alpha '=&-d\beta ,\\d\alpha ''=&-d\gamma ,\\d\beta ''=&-d\gamma '.\end{aligned}}$

Ces valeurs étant substituées dans les expressions de $dx,dy,dz,$ on aura celles-ci

${\begin{aligned}dx=&-yd\alpha '+zd\gamma ,\\dy=&\quad \ xd\alpha '-zd\beta '',\\dz=&-xd\gamma \ \ +yd\beta '',\end{aligned}}$

qui coïncident avec celles de l’article 8, en faisant

$d\alpha '=d\varphi ,\quad d\gamma =d\omega ,\quad d\beta ''=d\psi .$

Ces formules des variations de $x,y,z$ ont donc toute la généralité que l’état de la question peut comporter ; et les trois équations $\mathrm {L=0,\ M=0,}$ $\mathrm {N} =0,$ qui résultent de l’évanouissement des termes affectés de $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ dans l’équation générale de l’équilibre, sont, par conséquent, les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux ; de sorte que, lorsque cette disposition est invariable, l’équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s’agit.

D’Alembert est le premier qui ait trouvé les lois de l’équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de points de forme invariable, dans ses Recherches sur la précession des équinoxes. Il y est parvenu d’une manière très compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis, elles ont été démontrées plus simplement par divers auteurs ; mais nos formules ont l’avantage d’y conduire directement.

§ III. De la composition des mouvements de rotation autour de différents
axes, et des moments relatifs à ces axes.

11. Si l’on prend dans le système un point pour lequel les coordonnées $x,y,z$ soient proportionnelles à $d\psi ,d\omega ,d\varphi ,$ les différentielles