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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

Les neuf coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots$ ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées et doivent être tels que les coordonnées $x,y,z$ se rapportent aux mêmes points que les coordonnées $x',y',z'$ et que, par conséquent, les deux expressions

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\quad {\text{et}}\quad x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}$

soient identiques ; ce qui donne ces six équations de condition,

${\begin{alignedat}{2}\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\alpha ''^{2}=&\;1,\qquad &\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''=&\;0,\\\beta ^{2}+\beta '^{2}+\beta ''^{2}=&\;1,&\alpha \gamma +\alpha '\gamma '+\alpha ''\gamma ''=&\;0,\\\gamma ^{2}+\gamma '^{2}+\gamma ''^{2}=&\;1,&\beta \gamma +\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=&\;0\,;\end{alignedat}}$

de sorte que, parmi les neuf quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots ,$ il en restera trois d’indéterminées.

Lorsque les axes des $x',y',z'$ coïncident avec ceux des $x,y,z,$ on

$x=x',\qquad y=y',\qquad z=z',$

et, par conséquent,

$\alpha =1,\ \beta =0,\ \gamma =0,\ \quad \alpha '=0,\ \beta '=1,\ \gamma '=0,\quad \alpha ''=0,\ \beta ''=0,\ \gamma ''=1.$

Ainsi, en différentiant les formules précédentes et y faisant ensuite ces substitutions, on aura le résultat d’un déplacement quelconque infiniment petit du système dans l’espace autour du point donné.

On aura d’abord, en différentiant les expressions de $x,y,z$ dans l’hypothèse de $x',y',z'$ constantes et substituant, après la différentiation, $x,y,z$ à la place de ces quantités,

${\begin{aligned}dx=&xd\alpha \ \ +yd\beta \ \ +zd\gamma ,\\dy=&xd\alpha '\ +yd\beta '\ +zd\gamma ',\\dz=&xd\alpha ''+yd\beta ''+zd\gamma ''.\end{aligned}}$

Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs $\alpha =1,\ \beta =0,\ \gamma =0,\ldots$ trouvées ci-dessus,

${\begin{alignedat}{2}d\alpha \ \ =&\;0,&d\beta \ +d\alpha '\ =&\;0,\\d\beta '\ =&\;0,&d\gamma \ +d\alpha ''=&\;0,\\d\gamma ''=&\;0,\qquad &d\gamma '+d\beta ''=&\;0,\end{alignedat}}$