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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaîtront par ces substitutions.

On aura aussi $dp=0$ si l’on fait $a=0,\ b=0,\ c=0,$ c’est-à-dire si le centre des forces $\mathrm {P}$ tombe dans l’origine des coordonnées, ce qui fera aussi disparaître cette force.

9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s’il y en $a,$ ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coordonnées, on aura, en général, pour toutes les forces $\mathrm {P,P'} ,\ldots ,$ dirigées suivant les lignes $p,p',\ldots ,$ l’équation

$\mathrm {L} d\psi +\mathrm {M} d\omega +\mathrm {N} d\varphi =0,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&{\frac {\mathrm {P} (bz-cy)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(b'z'-c'y')}{p'}}+\ldots ,\\\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {P} (cx-az)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(c'x'-a'z')}{p'}}+\ldots ,\\\mathrm {N} \ =&{\frac {\mathrm {P} (ay-bx)}{p}}+{\frac {\mathrm {P} '(a'y'-b'x')}{p'}}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et l’on aura, pour tout système libre de tourner en tout sens autour de l’origine des coordonnées, les trois équations

$\mathrm {L=0,\quad M=0,\quad N} =0,$

lesquelles répondent à celle de l’article 5, rapportée aux trois axes des coordonnées.

Car, en employant, à la place des coordonnées $a,b,c,,a',\ldots$ des centres de forces, les angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots$ que les directions de ces forces font avec les trois axes des coordonnées, et faisant par conséquent, comme dans l’article 7 de la Section précédente,

$a=x-p\cos \alpha ,\quad b=y-p\cos \beta ,\quad c=z-p\cos \gamma ,$

et ainsi des autres quantités semblables, on a

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&\mathrm {P} (y\cos \gamma -z\,\cos \beta )+\mathrm {P} '(y'\cos \gamma '-z'\cos \beta ')+\ldots ,\\\mathrm {M} =&\mathrm {P} (z\cos \alpha -x\cos \gamma )+\mathrm {P} '(z'\cos \alpha '-x'\cos \gamma ')+\ldots ,\\\mathrm {N} \,=&\mathrm {P} (x\cos \beta -y\cos \alpha )+\mathrm {P} '(x'\cos \beta '-y'\cos \alpha ')+\ldots .\end{aligned}}$