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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

variations totales des coordonnées $x,y,z,x',y',z',\ldots$ seront, d’après les principes du Calcul différentiel, égales aux sommes des variations partielles dues à chacune de ces rotations, de sorte qu’on aura alors ces expressions complètes

${\begin{array}{lll}dx\ =z\ d\omega -y\ d\varphi ,&dy\ =x\ d\varphi -z\ d\psi ,&dz\ =y\ d\psi -x\ d\omega ,\\dx'=z'd\omega -y'd\varphi ,&dy'=x'd\varphi -z'd\psi ,&dz'=y'd\psi -x'd\omega ,\\\end{array}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

En substituant ces valeurs dans la formule générale de l’équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations $d\psi ,d\omega ,d\varphi$ autour des trois axes des $x,$ des $y,$ des $z,$ lesquels devront être séparément égaux à zéro lorsque le système a la liberté de tourner en tout sens autour du point qui fait l’origine des coordonnées.

Or on a, par la différentiation,

${\begin{aligned}&dp\ ={\frac {(x-a)dx+(y-b)dy+(z-c)dz}{p}},\\&dp'={\frac {(x'-a')dx'+(y'-b')dy'+(z'-c')dz'}{p'}},\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&d{\overline {p}}\,\ ={\frac {\left(x-{\overline {x}}\right)\left(dx-d{\overline {x}}\right)+\left(y-{\overline {y}}\right)\left(dy-d{\overline {y}}\right)+\left(z-{\overline {z}}\right)\left(dz-d{\overline {z}}\right)}{\overline {p}}},\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura donc, par les substitutions dont il s’agit,

${\begin{aligned}&dp\ \,={\frac {(ay-bx)d\varphi +(bz-cy)d\psi +(cx-az)d\omega }{p}},\\&dp'\ ={\frac {(a'y'-b'x')d\varphi +(b'z'-c'y')d\psi +(c'x'-a'z')d\omega }{p'}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

Et l’on trouvera $d\,{\overline {p}}=0,\ d\,{\overline {p}}'=0,\ldots ,$ en mettant pour $d\,{\overline {x}},d\,{\overline {y}},d\,{\overline {z}},\ldots$ les valeurs analogues ${\overline {z}}d\omega -{\overline {y}}d\varphi ,\ {\overline {x}}d\varphi -{\overline {z}}d\psi ,\ {\overline {y}}d\varphi -{\overline {x}}d\omega ,\ldots \,;$ d’où l’on peut tout de suite conclure que les termes ${\overline {\mathrm {P} }}d\,{\overline {p}},\ {\overline {\mathrm {P} }}'d\,{\overline {p}}',\ldots$ de la