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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour l’origine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes des $x,$ des $y,$ des $z,$ et l’on aura, par rapport à chacun de ces axes, une équation semblable à celle que nous venons de trouver et qui renferme la propriété des moments ; mais il ne sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale.

Pour cela soit, comme dans l’article 5,

x=\rho \cos \varphi ,\quad y=\rho \sin \varphi ,\quad x'=\rho '\cos \varphi ,\quad y'=\rho '\sin \varphi ',\quad \ldots \,;

en faisant varier simplement les angles $\varphi ,\varphi ',\ldots ,$ de la même différence $d\varphi ,$ on aura

dx=-yd\varphi ,\quad dy=xd\varphi ,\quad dx'=-y'd\varphi ,\quad dy'=x'd\varphi ,\quad \ldots .

Ce sont les variations de $x,y,x',y',\ldots ,$ dues à la rotation élémenfaire $d\varphi$ du système autour de l’axe des $z.$

On aura de même les variations de $y,z,y',z',\ldots$ dues à une rotation élémentaire $d\psi$ autour de l’axe des $x,$ en changeant simplement dans les formules précédentes $x,y,x',y',\ldots$ en $y,z,y',z',\ldots ,$ et $d\varphi$ en $d\psi ,$ ce qui donnera

dy=-zd\psi ,\quad dz=yd\psi ,\quad dy'=-z'd\psi ,\quad dz'=y'd\psi ,\quad \ldots .

En changeant, dans ces dernières formules, $y,z,y',z',\ldots$ respectivement en $z,x,z',x',\ldots ,$ et $d\psi$ en $d\omega ,$ on aura les variations provenant de la rotation élémentaire $d\omega$ autour de l’axe des $y,$ lesquelles seront

dz=-xd\omega ,\quad dx=zd\omega ,\quad dz'=-x'd\omega ,\quad dx'=z'd\omega ,\quad \ldots .

Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu à la fois^[1], les

↑ En réalité, les trois rotations ne peuvent avoir lieu à la fois, mais successivement. Il n’y a cependant aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme simultanées, car chacune d’elles, changeant infiniment peu la position du corps, ne peut exercer, sur les déplacements que les autres produisent, qu’une influence infiniment petite, et ne modifie le mouvementdû à ces autres rotations que d’une quantité infiniment petite par rapport à sa propre valeur. (J. Bertrand.)

[1] En réalité, les trois rotations ne peuvent avoir lieu à la fois, mais successivement. Il n’y a cependant aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme simultanées, car chacune d’elles, changeant infiniment peu la position du corps, ne peut exercer, sur les déplacements que les autres produisent, qu’une influence infiniment petite, et ne modifie le mouvementdû à ces autres rotations que d’une quantité infiniment petite par rapport à sa propre valeur. (J. Bertrand.)

[1]