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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

lèlement au plan des $xy,$ c’est-à-dire autour de l’axe des $z$ qui est perpendiculaire à ce plan, l’angle $\varphi$ sera indépendant des conditions du système, et sa différence $d\varphi$ demeurera, par conséquent, arbitraire. D’où il suit que les termes affectés de $d\varphi$ dans l’équation générale de l’équilibre devront être ensemble égaux à zéro.

Il est facile de voir que tous ces termes seront représentés par $\mathrm {N} d\varphi ,$ en faisant

$\mathrm {N} =\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mathrm {P} '{\frac {\partial p'}{\partial \varphi }}+\mathrm {P} ''{\frac {\partial p''}{\partial \varphi }}+\ldots +{\overline {\mathrm {P} }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial \varphi }}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura pour l’équilibre l’équation

$\mathrm {N} =0.$

En substituant les valeurs de $x,y,x',y',\ldots ,{\overline {x}},{\overline {y}},\ldots$ dans les empressions de $p,p',\ldots ,{\overline {p}},\ldots$ (art. 2), et faisant de plus

$a=\mathrm {R\cos A} ,\quad b=\mathrm {R\sin B} ,\quad a'=\mathrm {R'\cos A'} ,\quad b'=\mathrm {R'\sin B'} ,\quad \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&p\ ={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho \mathrm {R} \cos(\varphi -\mathrm {A} )+\mathrm {R} ^{2}+(z-c)^{2}}},\\&p'={\sqrt {\rho '^{2}-2\rho '\mathrm {R} '\cos(\varphi '-\mathrm {A} ')+\mathrm {R} '^{2}+(z'-c')^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\overline {p}}\ \,={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho {\overline {\rho }}\cos \left(\varphi -{\overline {\varphi }}\right)+{\overline {\rho }}^{2}+\left(z-{\overline {z}}\right)^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

où il faudra encore mettre $\varphi +\sigma ,\varphi +\sigma ',\ldots ,\varphi +{\overline {\sigma }},\ldots$ à la place de $\varphi ',\varphi '',\ldots ,{\overline {\varphi }},\ldots .$

Par ces dernières substitutions, on voit d’abord que les quantités ${\overline {p}},\ldots$ ne contiendront plus l’angle $\varphi \,;$ ainsi l’on aura ${\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial \varphi }}=0,\ldots \,:$ par conséquent, les forces intérieures ${\overline {\mathrm {P} }},\ldots$ disparaîtront de l’équation, et il n’y restera que les forces extérieures $\mathrm {P,P'} ,\ldots .$

Ensuite on aura

${\frac {\partial p}{\partial \varphi }}={\frac {\mathrm {\rho R\sin(\varphi -A)} }{p}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial \varphi }}={\frac {\mathrm {\rho 'R'\sin(\varphi '-A')} }{p'}},\quad \ldots ,$