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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION III.

En général, il est facile de concevoir que, $\mathrm {P}$ représentant l’action totale de la puissance $\mathrm {P}$ suivant sa propre direction, $\mathrm {P} \cos \alpha$ représentera son action relative, estimée suivant la direction de l’axe des $x,$ lequel fait l’angle $\alpha$ avec la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ de même, $\mathrm {P} \cos \beta$ et $\mathrm {P} \cos \gamma$ seront les actions relatives de la même force, estimées suivant la direction des axes des $y$ et des $z,$ et ainsi des autres forces $\mathrm {P',P''} ,\ldots .$

De là résulte ce théorème de Statique, que la somme des puissances estimées suivant la direction de trois axes perpendiculaires entre eux doit être nulle par rapport à chacun de ces axes, dans l’équilibre d’un système libre.

§ II. — Propriétés de l’équilibre relatives au mouvement de rotation.

5. Prenons maintenant, ce qui est permis, à la place des coordonnées $x,y,x',y',x'',y'',\ldots {\overline {x}},{\overline {y}},\ldots ,$ les rayons vecteurs $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots$ ${\overline {\rho }},\ldots ,$ avec les angles $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots {\overline {\varphi }},\ldots ,$ que ces rayons font avec l’axe des $x\,;$ on aura, comme l’on sait,

$x=\rho \cos \varphi ,\quad y=\rho \sin \varphi ,$

et, de même,

$x'=\rho '\cos \varphi ',\quad y'=\rho '\sin \varphi ',\quad \ldots ,{\overline {x}}={\overline {\rho }}\cos {\overline {\varphi }},\quad {\overline {y}}={\overline {\rho }}\sin {\overline {\varphi }},\quad \ldots .$

Faisons ces substitutions dans la formule générale de l’article 2 et supposons

$\varphi '=\varphi +\sigma ,\quad \varphi ''=\varphi +\sigma ',\quad \ldots ,\quad {\overline {\varphi }}=\varphi +{\overline {\sigma }},\quad \ldots \,;$

il est visible que $\sigma ,\sigma ',\ldots ,{\overline {\sigma }},\ldots$ seront les angles que les rayons $\rho ',\rho '',\ldots ,{\overline {\rho }},\ldots$ forment avec le rayon $\rho \,;$ par conséquent, les distances des corps, tant entre eux que par rapport au plan des $xy$ et au point qui est pris pour l’origine des coordonnées, dépendront uniquement des quantités $\rho ,\rho ',\rho '',\ldots ,$${\overline {\rho }},\ldots ,$ $\sigma ,\sigma ',\ldots ,{\overline {\sigma }},\ldots ,$ $z,z',z'',\ldots ,{\overline {z}},\ldots .$

Donc, si le système a la liberté de tourner autour de ce point paral-