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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On voit ensuite que les valeurs de

${\frac {\partial p'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial y}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial y}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial z}},\quad \ldots$

seront le mêmes que celles de

${\frac {\partial p'}{\partial x'}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial y'}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z'}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial x''}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial y''}},\quad {\frac {\partial p''}{\partial z''}},\quad \ldots .$

Or, si l’on nomme $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles que la ligne $p$ fait avec les axes des $x,y,z,$ ou avec des parallèles à ces axes, $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les angles que la ligne $p'$ fait avec les mêmes axes, …, on a, comme on l’a vu plus haut (art. 7, Section précédente),

${\frac {\partial p}{\partial x}}=\cos \alpha ,\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}=\cos \beta ,\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=\cos \gamma \,;$

et de même,

${\frac {\partial p'}{\partial x'}}=\cos \alpha ',\quad {\frac {\partial p'}{\partial y'}}=\cos \beta ',\quad {\frac {\partial p'}{\partial z'}}=\cos \gamma ',\quad \ldots .$

Donc les trois équations ci-dessus deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {P\cos \alpha +P'\cos \alpha '+P''\cos \alpha ''} +\ldots =&\;0,\\\mathrm {P\cos \beta +P'\cos \beta '\,+P''\cos \beta ''} +\ldots =&\;0,\\\mathrm {P\cos \gamma +P'\cos \gamma '\,+P''\cos \gamma ''} +\ldots =&\;0,\end{aligned}}$

lesquelles devront nécessairement avoir lieu dans l’équilibre d’un système libre. Ce sont les équations nécessaires pour empêcher le mouvement de translation.

4. Si les puissances $\mathrm {P,P',P'',}$ étaient parallèles, on aurait

$\alpha =\alpha '=\alpha '=\ldots ,\quad \beta =\beta '=\beta '=\ldots ,\quad \gamma =\gamma '=\gamma '=\ldots ,$

et les trois équations précédentes se réduiraient à celle-ci

$\mathrm {P+P'+P''} +\ldots =0,$

laquelle montre que la somme des forces parallèles doit être nulle.