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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

§ I. — Propriétés de l’équilibre d’un système libre relatives au mouvement
de translation.

2. Soit un nombre quelconque de corps regardés comme des points et disposés ou liés entre eux comme on voudra, lesquels soient tirés par les puissances $\mathrm {P,P',P} '',\ldots$ suivant les directions des lignes $p,\,p',\,p'',\ldots$ On aura (Section précédente), pour l’équilibre de ces corps, la formule générale

$\mathrm {P} dp+\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {P} ''dp''+\ldots =0.$

${\displaystyle }$

En rapportant à des coordonnées rectangles les différents points tirés par les forces $\mathrm {P,P} ',\ldots$ ainsi que les centres de ces forces, comme dans l’article 6 de la Section précédente, on aura, pour les forces extérieures,

${\begin{aligned}&p\ ={\sqrt {(x\ -a\ )^{2}+(y\,\ -b\ )^{2}+(z\ -c\ )^{2}}},\\&p'={\sqrt {(x'-a')^{2}+(y'-b')^{2}+(z'-c')^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais, si les corps qui répondent, par exemple, aux coordonnées $x,\,y,\,z,$ et aux ${\overline {x}},\,{\overline {y}},\,{\overline {z}},$ agissent l’un sur l’autre par une force mutuelle que nous désignerons par ${\overline {\mathrm {P} }},$ en nommant ${\overline {p}},$ la distance rectiligne de ces deux corps, on aurait

${\overline {p}}={\sqrt {(x-{\overline {x}})^{2}+(y-{\overline {y}})^{2}+(z-{\overline {z}})^{2}}},$

et il faudrait ajouter à la formule générale le terme ${\overline {\mathrm {P} }}d{\overline {p}},$ provenant de la force intérieure $\mathrm {\overline {P}} \,;$ et ainsi de suite, si plusieurs forces agissent sur les mêmes corps.

3. Faisons, ce qui est permis,

${\begin{array}{lll}x'\ =x+\xi ,&y'\ =y+\eta ,&z'\ =z+\zeta ,\\x''=x+\xi ,&y''=y+\eta ,&z''=z+\zeta ,\\.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,\\{\overline {x}}\ \ =x+{\overline {\xi }},&{\overline {y}}\ \ =y+{\overline {\eta }},&{\overline {z}}\ \ =z+{\overline {\zeta }},\\.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,&.\ldots \ldots \ldots ,\end{array}}$