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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION II.

(art. 2)

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\dots -\mathrm {P} 'dp'-\mathrm {Q} 'dq'-\mathrm {R} 'dr'-\dots =0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\dots =\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\dots$

C’est la condition nécessaire pour que les forces $\mathrm {P',Q',R} ',\dots$ agissant suivant les lignes $p',\,q',\,r',\dots$ soient équivalentes aux forces $\mathrm {P,Q,R} ,\dots$ agissant suivant les lignes $p,\,q,\,r,\dots \,;$ et, comme deux systèmes de forces ne peuvent être entièrement équivalents^[1] que d’une seule manière, puisque le mouvement d’un corps est toujours unique et déterminé, il s’ensuit que, si deux systèmes de forces $\mathrm {P,Q,R} ,\dots$ $\mathrm {P',Q',R'} ,\dots$ sont tels que l’on ait, généralement et par rapport à toutes les variables indépendantes, l’équation

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\,\dots =\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\,\dots ,$

ces deux systèmes seront équivalents et pourront, dans tous les cas, être substitués l’un à l’autre.

15. Il résulte de là ce théorème important de Statique, que deux systèmes de forces sont équivalents et peuvent être substitués l’un à l’autre, dans un même système de corps liés entre eux d’une manière quelconque, lorsque les sommes des moments des forces sont toujours égales dans les deux systèmes ; et, réciproquement, lorsque la somme des moments des forces d’un système est toujours égale à la somme des moments des forces d’un autre système, ces deux systèmes de forces sont équivalents et peuvent être substitués l’un à l’autre dans le même système de corps.

Si l’on fait dépendre les lignes $p,\,q,\,r,\dots$ des lignes $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\dots ,$ la formule

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\dots$

1. C’est-à-dire que deux systèmes qui sont équivalents, en ce sens qu’ils font équilibre à un même troisième, peuvent être, par cela même, considérés comme complètement équivalents.(J. Bertrand.)