Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/59

41

PREMIÈRE PARTIE. — SECTION II.

de ces variables indépendantes^[1], parce qu’elles donnent lieu à autant de changements différents dans la position du système.

13. En effet, si l’on dénote par $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\dots$ ces variables indépendantes, en regardant les valeurs de $p,\,q,\,r,\,\dots$ comme fonctions de ces variables, on aura

${\begin{aligned}&dp={\frac {\partial p}{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial p}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}d\varphi +\dots ,\\&dq={\frac {\partial q}{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial q}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}d\varphi +\dots ,\\&dr={\frac {\partial r}{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial r}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial r}{\partial \varphi }}d\varphi +\dots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\end{aligned}}$

et l’équation de l’équilibre $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\,\dots =0$ deviendra

${\begin{aligned}&\left(\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \xi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \xi }}\,+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \xi }}\,+\dots \right)d\xi ,\\+&\left(\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \psi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \psi }}+\dots \right)d\psi \\+&\left(\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}+\dots \right)d\varphi \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$

dans laquelle, les valeurs de $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\,\dots$ devant demeurer indéterminées, il faudra que l’on ait séparément les équations

${\begin{aligned}&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \xi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \xi }}\,+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \xi }}\,+\dots =0,\\&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \psi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \psi }}+\dots =0,\\&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}+\dots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

1. C’est-à-dire, il faudra que les coefficients des variations de chacune de ces variables soient nuls séparément. (J. Bertrand.)