Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/58

40

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

en laissant subsister la troisième coordonnée $z$ ; ou bien on emploiera un rayon vecteur $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ avec deux angles $\varphi$ et $\psi ,$ tels que

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {y}{x}},\qquad {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},$

ce qui donnera

$x=\rho \cos \psi \cos \varphi ,\quad y=\rho \cos \psi \sin \varphi ,\quad z=\rho \sin \psi ,$

ou d’autres angles ou lignes quelconques. Remarquons encore que, comme il n’y a proprement que la considération des différences $dx,\,dy,\,dz$ qui entre dans la méthode dont il s’agit, il est permis de placer l’origine des coordonnées où l’on voudra ce qui peut servir à simplifier l’expression de ces différences.

Ainsi, en substituant $\rho \cos \varphi$ et $\rho \sin \varphi$ au lieu de $x$ et $y,$ on aura, en général,

${\begin{aligned}dx=&\cos \varphi d\rho -\rho \sin \varphi d\varphi ,\\dy=&\sin \,\varphi d\rho +\rho \cos \varphi d\varphi \,;\end{aligned}}$

mais, en faisant $\varphi =0$ ce qui revient à placer l’origine de l’angle $\varphi$ dans le rayon $\rho$ on aura plus simplement $dx=d\rho$ et $dy=\rho d\varphi .$ Et ainsi des autres cas semblables.

12. En général, quel que soit le système de puissances dont on cherche l’équilibre et de quelque manière que les points où elles sont appliquées soient liés entre eux, on peut toujours réduire les variables qui déterminent la position de ces points dans l’espace à un petit nombre de variables indépendantes en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de variables qu’il y a de conditions, c’est-à-dire en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque point, par un petit nombre d’entre elles ou par d’autres variables quelconques qui, n’étant plus assujetties à aucune condition, seront indépendantes et indéterminées. Il faudra alors que l’équilibre ait lieu par rapport à chacune