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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et, par conséquent,

$\cos \alpha =\sin \gamma \cos \varepsilon ,\quad \cos \beta =\sin \gamma \sin \varepsilon$

8. Je considère ensuite que, puisque $dp$ représente le petit espace que le corps ou point auquel est appliquée la force $\mathrm {P}$ peut parcourir suivant la direction de cette force, si l’on fait $dp=0,$ ce point ne pourra plus se mouvoir que dans des directions perpendiculaires à celle de la même force. Donc $dp=0$ sera l’équation différentielle d’une surface à laquelle la direction de la force $\mathrm {P}$ sera perpendiculaire.

Cette surface sera une sphère si les quantités $a,b,c$ sont constantes ; mais elle pourra être une surface quelconque, en supposant ces quantités variables.

Supposons maintenant, en général, que la force $\mathrm {P}$ agisse perpendiculairement à une surface représentée par l’équation

$\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz=0.$

Pour faire coïncider cette équation avec l’équation

$(x-a)dx+(y-b)dy+(z-c)dz=0$

qui résulte de la supposition $dp=0,$ il n’y aura qu’à faire

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }}={\frac {x-a}{z-c}},\quad {\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {C} }}={\frac {y-b}{z-c}},$

ce qui donne

$x-a=\mathrm {\frac {A}{C}} (z-c),\qquad y-b=\mathrm {\frac {B}{C}} (z-c);$

substituant ces valeurs dans l’expression de $dp,$ on aura

$dp={\frac {\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz}{\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} }}$

Ainsi, ayant l’équation différentielle de la surface à laquelle la force $\mathrm {P}$ est perpendiculaire, on aura l’expression de sa vitesse virtuelle $dp.$