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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION II.

Or il est facile de voir que ${\frac {x-a}{p}},\,{\frac {y-b}{p}},\,{\frac {z-c}{p}}$ sont les cosinus des angles que la ligne $p$ fait avec les lignes $x-a,\,y-b,\,z-c.$ Donc, en général, si l’on nomme $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles que la direction de la force $\mathrm {P}$ fait avec les axes des $x,\,y,\,z,$ ou avec des parallèles à ces axes, on aura

${\frac {x-a}{p}}=\cos \alpha ,\quad {\frac {y-b}{p}}=\cos \beta ,\quad {\frac {z-c}{p}}=\cos \gamma \,;$

par conséquent

$dp=\cos \alpha dx+\cos \beta dy+\cos \gamma dz,$

et ainsi des autres différences $dq,\,dr,\dots$

Mais, si la même force $\mathrm {P}$ étant intérieure, agit sur les deux points qui répondent aux coordonnées $x,\,y,\,z$ et $x',\,y',\,z'$ pour les rapprocher ou éloigner l’un de l’autre, on aura alors, dans l’expression de $p$

$a=x',\quad b=y',\quad c=z',$

et, par conséquent,

$dp=\cos \alpha (dx-dx')+\cos \beta (dy-dy')+\cos \gamma (dz-dz').$

On remarquera, par rapport aux angles ${\displaystyle }$ premièrement, que

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

ce qui est évident par les formules précédentes ; en second lieu que, si l’on nomme $\varepsilon$ l’angle que la projection de la ligne $p$ sur le plan des $x$ et $y$ fait avec l’axe des $x,$ on aura

${\frac {x-a}{\pi }}=\cos \varepsilon ,\quad {\frac {y-b}{\pi }}=\sin \varepsilon ,$

en supposant

$\pi ={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}\,;$

donc, mettant pour $x-a,\,y-b$ leurs valeurs $p\cos \alpha ,\,p\cos \beta ,$ on aura aussi

$\pi =p{\sqrt {\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta }}=p{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}=p\sin \gamma ;$

donc

${\frac {x-a}{p}}=\sin \gamma \cos \varepsilon ,\quad {\frac {y-b}{p}}=\sin \gamma \sin \varepsilon ,$