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NOTES.

Appliquons la méthode de M. Kronecker aux deux fonctions

$f\left(\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{n}\right),\qquad \varphi \left(\xi _{1},\,\ldots ,\,\xi _{n}\right)\,;$

nous pourrons, par une même substitution linéaire à coefficients constants, les réduire aux formes simples

${\begin{aligned}f=&\sum _{i=1}^{i=n}y_{i}^{2},\\\varphi =&\sum _{i=1}^{i=n}a_{i}y_{i}^{2}.\end{aligned}}$

Les quantités $a_{i}$ seront les racines de l’équation en $\lambda$ relatives au faisceau $\lambda f-\varphi \,;$ elles seront toutes positives si la fonction des forces est un minimum dans la position d’équilibre.

Les variables $\xi _{i}$ et $\xi '_{i}$ se transformant de la même manière quand on applique une substitution linéaire, on aura nécessairement

$\mathrm {T} =\sum _{i=1}^{i=n}y_{i}^{'2}\,;$

et, par suite, les équations de Lagrange (p. 374) deviendront ici

${\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+a_{i}y_{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Les quantités $a_{i},$ qui sont toujours réelles, pourront cependant devenir égales, comme nous l’avons établi plus haut. Néanmoins, le résultat essentiel indiqué par Lagrange subsistera encore si la fonction des forces est un minimum dans la position d’équilibre, les constantes ai seront toutes positives, et les intégrales des équations différentielles précédentes ne contiendront jamais le temps en dehors des signes sinus ou cosinus.

fin du tome onzième.