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NOTES.

de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ qui ne soient pas toutes nulles. Par suite, la forme $\lambda f-\varphi ,$ s’annulant par des valeurs réelles des variables indépendantes qui ne sont pas toutes nulles, ne pourra être une forme définie, quelle que soit d’ailleurs la valeur attribuée à $\lambda .$

Si l’on veut démontrer ce résultat pour la forme $f$ seulement, on pourra répéter le raisonnement précédent en substituant au système (4) les équations suivantes :

$y_{i}=0.$

On conclut immédiatement de la proposition précédente que, si un faisceau de formes quadratiques contient une seule forme définie, l’équation en $\lambda$ relative à ce faisceau a nécessairement toutes ses racines réelles.

C’est ce qui aura lieu, en particulier, si, comme nous le supposerons dans la suite, $f$ est une forme définie.

D’après cela, soit $k$ une racine, nécessairement réelle, de l’équation (2). La fonction quadratique $kf-\varphi$ pourra être ramenée à la forme

(5)

$kf-\varphi =a_{1}x_{1}^{_{'}2}+a_{2}x_{2}^{_{'}2}+\ldots +a_{p}x_{p}^{_{'}2},$

$x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}$ désignant des fonctions linéairement indépendantes de $x_{1},\,x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n},$ et $p$ étant au plus égal à $n-1.$

On peut adopter comme nouvelles variables indépendantes $x'_{1},\,x'_{2},$ $\ldots ,\,x'_{p}$ et les substituer à un nombre égal des variables primitives. Si, par exemple, on peut déduire des formules qui expriment $x'_{1},\,\ldots ,\,x'_{p}$ les valeurs de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{p},$ on choisira comme nouvelles variables indépendantes

$x'_{1},\quad x'_{2},\quad \ldots ,\quad x'_{p},\quad x_{p+1},\quad \ldots ,\quad x_{n}.$

On aura alors

(6)

$f=\operatorname {\mathrm {F} } (x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p})+\mathrm {B} \left\{{\begin{aligned}&x'_{1},\,x'_{2},\,\ldots ,\,x'_{p}\\&x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}.\end{aligned}}\right\}+\Phi (x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}),$

$\operatorname {F}$ désignant la partie qui contient les seules variables $x'_{i},$ $\mathrm {B}$ celle qui contient les produits des variables $x'_{i}$ par les variables $x_{k}$ et $\Phi$ celle qui ne renferme que les variables $x_{k}.$ Pour réduire encore l’expression de $f,$ nous nous appuierons sur la remarque suivante.

Étant donnée une forme définie de $n$ variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},$ si l’on annule un certain nombre des variables, $x_{p+1},\,\ldots ,\,x_{n}$ par exemple, il reste une forme définie des variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{p}.$

En effet, si cette forme n’était pas définie, elle s’annulerait pour des valeurs des variables $x_{1},\,\ldots ,\,x_{p}$ qui ne seraient pas toutes nulles ; et l’un de ces