Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/511

493

NOTES.

détermine, comme on sait, les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la forme quadratique $\lambda f-\varphi$ se réduit à une somme composée de moins de $n$ carrés cette équation ne sera jamais vérifiée identiquement si la forme $f,$ par exemple, a son déterminant différent de zéro.

Cela posé, nous commenceronspar établir le lemme suivant :

Appelons, suivant l’usage, forme définie toute fonction quadratique de $n$ variables qui est réductible à une somme de $n$ carrés tous de même signe, et qui, par suite, ne peut s’annuler que si l’on attribue des valeurs nulles à toutes les variables dont elle dépend. Nous allons montrer que, si l’équation $(2)$ a une seule racine imaginaire, il est impossible que la forme quadratique $f,$ ou toute autre forme du faisceau, soit une forme définie.

Soit, en effet, $\lambda _{0}=\alpha +\beta i$ cette racine imaginaire de l’équation (2) ; la forme quadratique

$(\alpha +\beta i)f-\varphi$

sera une somme composée de moins de $n$ carrés. On pourra donc écrire

(3)

$(\alpha +\beta i)f-\varphi =(y_{1}+iz_{1})^{2}+(y_{2}+iz_{2})^{2}+\ldots +(y_{n-p}+iz_{n-p})^{2},$

$y_{i},\,z_{k}$ désignant des fonctions linéaires réelles des variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ Si l’on égale les parties réelles et les parties imaginaires dans les deux membres, on aura

${\begin{aligned}\beta f=&2y_{1}z_{1}\ \ \ +2y_{2}z_{2}\ \ \ +\ldots +2y_{n-p}z_{n-p},\\\alpha f-\varphi =&y_{1}^{2}-z_{1}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2}+\ldots +y_{n-p}^{2}-z_{n-p}^{2}\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\lambda f-\varphi =(\lambda -\alpha )f+\alpha f-\varphi =\sum \left(y_{i}^{2}-z_{i}^{2}+2{\frac {\lambda -\alpha }{\beta }}y_{i}z_{i}\right).$

On peut, évidemment, donner à cette équation la forme suivante

$\lambda f-\varphi =\sum (y_{i}-m_{i}z_{i})\left(y_{i}+{\frac {1}{m_{i}}}z_{i}\right),$

les, constantes $m_{i}$ étant toutes réelles. La fonction $\lambda f-\varphi$ s’annulera donc si l’on pose, pour toutes les valeurs de l’indice $i,$

(4)

$y_{i}-m_{i}z_{i}=0.$

Les équations ainsi obtenues sont en nombre inférieur à $n\,;$ elles sont linéaires par rapport aux variables $x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,;$ et, de plus, tous leurs coefficients sont réels. Il sera donc possible d’y satisfaire par des valeurs réelles