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NOTES.

NOTE VIII.

Sur les oscillations infiniment petites d’un système de corps ;
par M. G. Darboux.

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Au début de la Section sixième (p. 369), Lagrange étudie d’une manière approfondie les oscillations très petites qu’exécutent les différents corps d’un système lorsqu’on les écarte très peu de leur position d’équilibre. L’emploi des admirables résultats que lui doit la Mécanique analytique permettait seul d’aborder avec succès cette question, une des plus importantes et des plus générales qui se présentent dans la théorie du mouvement. Quelques-uns des résultats que Lagrange énonce ne sont pas suffisamment établis. La solution du problème dépend de la résolution d’une équation algébrique que Lagrange apprend à former ; cette équation n’a jamais de racines imaginaires, mais, contrairement aux affirmations de l’illustre géomètre, elle peut très bien avoir des racines égales. C’est ce que nous mettrons en évidence en suivant une méthode de réduction des formes quadratiques qui est due à M. Kronecker.

Considérons deux formes quadratiques homogènes

(1)

$\left\{{\begin{aligned}f=&a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\ldots =\sum \sum a_{ik}x_{i}x_{k},\\\varphi =&b_{11}\,x_{1}^{2}+2b_{12}\,x_{1}x_{2}+\ldots =\sum \sum b_{ik}x_{i}x_{k},\end{aligned}}\right.$

qui dépendent de $n$ variables $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}.$ La formule

$\lambda f-\varphi =\sum \sum (\lambda a_{ik}-b_{ik}x_{i}x_{k},$

où $\lambda$ désigne une constante qui peut prendre toutes les valeurs possibles, définira ce que nous appellerons, avec M. Kronecker, un faisceau de formes quadratiques. L’équation algébrique

(2)

${\begin{array}{|llll|}\ \ \lambda a_{11}-b_{11}&\lambda a_{12}-b_{12}&\ldots &\lambda a_{1n}-b_{1n}\ \ \\\ \ \lambda a_{21}-b_{21}&\lambda a_{22}-b_{22}&\ldots &\lambda a_{2n}-b_{2n}\\\ \ \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\ \ \lambda a_{n1}-b_{n1}&\lambda a_{n2}-b_{n2}&\ldots &\lambda a_{nn}-b_{nn}\end{array}}=0$