Nous avions donc fait une hypothèse impossible en limitant à le nombre des intégrales qui, combinées avec donnent un résultat identiquement nul, et il est impossible que soit différent de
Le théorème énoncé est, par conséquent, démontré.
D’après ce qui précède, une intégrale étant donnée, on peut compléter la solution du problème par des intégrales qui, combinées avec donnent toutes à la formule de Poisson une formule identique. Il ne faut pas croire cependant que toutes les intégrales du problème soient pour cela dans le même cas.
Considérons, en effet, l’intégrale la plus générale
on aura, d’après la formule du paragraphe II,
et, par conséquent, l’expression ne sera identiquement constante que si est constant lui-même ; mais on voit que toutes les intégrales, en nombreinfini, qui résultent de la combinaison de donneront un résultat identiquement nul, si on les combine avec Celles-là seules, qui contiennent peuvent conduire à des résultats non identiques. Les deux intégrales et se trouvent, d’après cela, liées l’une à l’autre d’une manière toute spéciale, et je proposerai de les désigner sous le nom d’intégrales conjuguées. Les propriétés de ces intégrales conjuguées formeraient une étude intéressante, dont les développements ne doivent pas trouver place ici. Pour l’application que l’on peut faire du théorème de Poisson à l’intégration des équations différentielles de la Mécanique, je renverrai à un Mémoire publié dans le tome XVII du Journal de M. Liouville, page 393.
