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NOTES.

Nous pouvons actuellement donner la démonstration du théorème qui fait l’objet de ce paragraphe.

Une intégrale $\alpha$ étant donnée, on peut toujours compléter la solution du problème par des intégrales $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{2k-1},$ telles que

$(\alpha ,\beta _{1})=1,\qquad (\alpha ,\beta _{2})=0,\qquad \ldots ,\qquad (\alpha ,\beta _{2k-1})=0.$

L’existence de l’intégrale $\beta _{1},$ telle que $(\alpha ,\beta _{1})=1,$ a été démontrée plus haut. Il reste donc à prouver qu’il existe $2k-2$ intégrales distinctes de $\alpha$ et de $\beta _{1}$ qui, combinées avec $\alpha ,$ donnent à l’équation de Poisson la forme $0=0.$ Nommons, en effet, $\mu$ le nombre des intégrales qui remplissent cette condition, et désignons-les par $\beta _{2},\,\beta _{3},\,\ldots ,\,\beta _{\mu +1}.$ Si $\mu +1$ est moindre que $2k-2,$ il existera des intégrales indépendantes de celles-là, ainsi que de $\alpha$ et de $\beta _{1}.$ Soit $\beta _{\mu +2}$ une de ces intégrales, posons

$(\alpha ,\beta _{\mu +2})=\beta _{\mu +3}.$

$\beta _{\mu +3}$ sera, par hypothèse, différent de zéro. Il le sera également de l’unité, car on aurait sans cela

$(\alpha ,\beta _{\mu +2}-\beta _{1})=,0$

et $\beta _{\mu +2}-\beta _{1}$ serait alors, d’après ce que nous avons supposé, fonction de $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{\mu +1},$ en sorte que $\beta _{\mu +2}$ ne serait pas une intégrale nouvelle.

Posons

${\begin{aligned}(\alpha ,\beta _{\mu +3})=&\beta _{\mu +4},\\(\alpha ,\beta _{\mu +4})=&\beta _{\mu +5},\end{aligned}}$

et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous arrivions à une intégrale identiquement constante ou fonction des précédentes. Soit

$\beta _{\mu +i}=\operatorname {F} \left(\beta _{\mu +i-1},\,\beta _{\mu +i-2},\,\beta _{\mu +i-3},\,\ldots ,\,\beta _{1},\,\alpha \right)$

cette intégrale, et posons

$\gamma =\varpi \left(\beta _{\mu +i-1},\,\beta _{\mu +i-2},\,\beta _{\mu +i-3},\,\ldots ,\,\beta _{1},\,\alpha \right),$

nous aurons

$(\alpha ,\gamma )={\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{\mu +i-1}}}\operatorname {F} +{\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{\mu +i-2}}}\beta _{\mu +i-1}+\ldots +{\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{1}}}\,;$

et, en égalant $(\alpha ,\gamma )$ à zéro, on obtiendra évidemment une équation en, dont l’intégrale fournira des solutions fonctions de $\beta _{1},\,\beta _{\mu +2},\,\beta _{\mu +3},\,\ldots ,\,\beta _{\mu +i-1},$ et distinctes de $\beta _{2},\,\beta _{3},\,\ldots ,\,\beta _{\mu +1}\,;$ car, sans cela, il existerait, contrairement à ce que l’on a supposé, une relation entre les intégrales obtenues avant $\beta _{\mu +1}.$