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NOTES.

Si, en effet, il en était autrement, l’équation

$\sum {\frac {\partial \alpha }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{1}}}=0,$

dans laquelle la fonction $\beta$ est regardée comme inconnue, admettrait toutes les solutions de l’équation

$\sum {\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{1}}}=0,$

qui exprime que $\beta$ est une intégrale. Or, ces deux équations étant linéaires et contenant le même nombre de variables indépendantes, ne peuvent avoir la même intégrale générale sans être identiques, ce qui exige, évidemment, que ex soit une fonction de $\mathrm {H} ,$ c’est-à-dire que l’intégrale donnée soit celle des forces vives. Mais, dans ce cas-là même, il existe une intégrale qui, combinée avec, donne pour résultat l’unité ; c’est celle dont la constante est ajoutée au temps. Notre assertion est donc démontrée dans tous les cas.

Nous montrerons, en second lieu, qu’à une intégrale donnée $\alpha$ il en correspond toujours au moins une autre $\beta ,$ telle que

$(\alpha ,\beta )=1.$

Soit, en effet, $\gamma$ une intégrale, telle que $(\alpha ,\gamma )$ soit différent de zéro. Posons

${\begin{aligned}(\alpha ,\gamma )=&\delta ,\\(\alpha ,\delta )=&\varepsilon ,\\(\alpha ,\varepsilon )=&\eta ,\end{aligned}}$

et arrêtons-nous lorsque l’une des intégrales $\delta ,\varepsilon ,\eta$ sera identiquement constante ou fonction des précédentes. Il est impossible que l’un de ces cas ne finisse pas par se présenter, car le nombre des intégrales distinctes est nécessairement limité. Supposons, par exemple, que l’on ait

$\eta =\operatorname {F} (\alpha ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ),$

la fonction $\operatorname {F}$ pouvant se réduire à une simple constante. Soit $\varpi (\alpha ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )$ une nouvelle intégrale que je nomme $\zeta ,$ on aura

$(\alpha ,\zeta )=\delta {\frac {\partial \varpi }{\partial \gamma }}+\varepsilon {\frac {\partial \varpi }{\partial \delta }}+\eta {\frac {\partial \varpi }{\partial \varepsilon }}\,;$

et, en posant $(\alpha ,\zeta )=1,$ on obtiendra une équation différentielle de laquelle on déduira $\varpi .$