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NOTES.

de $\alpha$ et de $\beta ,$ de manière à pouvoir résulter de la combinaison de ces deux intégrales. Il est important d’examiner ces deux cas et de reconnaître s’ils doivent fréquemment se présenter. Nous démontrerons d’abord un théorème qui permet de les rattacher l’un à l’autre.

Si

$\alpha =\varphi ,\qquad \beta =\psi$

sont deux intégrales d’un même problème, telles que $(\alpha ,\beta )$ soit une fonction de $\alpha$ et de $\beta ,$ il existe toujours une fonction de $\alpha$ et de $\beta$ qui, égalée à une constante $\gamma ,$ fournira une intégrale telle que $(\alpha ,\gamma )$ soit identiquement l’unité.

On $a,$ en effet, d’après la formule du paragraphe précédent,

$(\alpha ,\gamma )=(\alpha ,\beta ){\frac {\partial \gamma }{\partial \beta }}\,;$

si donc $(\alpha ,\beta )$ est, comme on l’a supposé, fonction de $\alpha$ et de $\beta ,$ on pourra toujours déterminer $\gamma$ par la condition

${\frac {\partial \gamma }{\partial \beta }}={\frac {1}{(\alpha ,\beta )}}$

et faire en sorte que $(\alpha ,\gamma )$ soit égal à l’unité.

IV.

Après avoir montré que les deux cas dans lesquels le théorème de Poisson donne des résultats illusoires sont liés intimementl’un à l’autre, nous allons nous borner à étudier les intégrales qui, combinées avec une intégrale donnée, donnent à l’expression de Poisson une valeur identiquement constante.

Nous démontrerons le théorème suivant :

Quelle que soit une intégrale donnée $\alpha ,$ on peut toujours compléter la solution du problème en lui adjoignant d’autres intégrales $\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{2k-1}$ qui, combinées avec $\alpha ,$ donnent à l’équation de Poisson une forme identique, de telle sorte que l’on ait

$(\alpha ,\beta _{1})=1,\quad (\alpha ,\beta _{2})=0,\quad (\alpha ,\beta _{3})=0,\quad \ldots ,\quad (\alpha ,\beta _{2k-1})=0.$

Nous commencerons par remarquer que, quelle que soit l’intégrale $\alpha ,$ il est impossible qu’il n’en existe pas moins une autre $\beta ,$ telle que $(\alpha ,\beta )$ soit différent de zéro.