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NOTES.

suite. Malheureusement, les cas dans lesquels ce procédé ne conduit pas à des intégrales nouvelles sont excessivement nombreux. Nous allons donner quelques détails sur cette question importante.

II.

Soient

$\alpha =\varphi _{1},\qquad \beta =\varphi _{2},\qquad \gamma =\varphi _{3},\qquad \ldots ,\qquad \lambda =\varphi _{2k}$

les intégrales d’un problème de Mécanique $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{2k}$ représentant des fonctions des inconnues et de la lettre $t$ qui conservent la même valeur pendant toute la durée du mouvement. Une fonction arbitraire de $\varphi _{1},\,\varphi _{2},$ $\ldots ,\,\varphi _{2k}$ partagera évidemment la même propriété, et nous pourrons regarder

$\mathrm {A} =\operatorname {F} _{1}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{2k}\right)=\operatorname {F} _{1}\left(\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\eta ,\lambda \right)$

comme étant aussi une intégrale des équations différentielles du mouvement.

Si nous considérons une seconde intégrale

$\mathrm {B} =\operatorname {F} _{2}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{2k}\right)=\operatorname {F} _{2}\left(\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\eta ,\lambda \right),$

$\operatorname {F} _{1}$ et $\operatorname {F} _{2}$ désignant deux fonctions arbitraires, on vérifiera bien facilement, par les seules règles de la différentiation, qu’en combinant les deux intégrales $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ comme il a été dit dans le paragraphe précédent, on obtiendra identiquement

$\quad (\mathrm {A,B} )=+(\alpha ,\beta )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \beta }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \beta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \alpha }}\right)+(\alpha ,\gamma )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \gamma }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \alpha }}\right)+\ldots$

$+(\beta ,\gamma )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \beta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \gamma }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \beta }}\right)+\ldots +(\eta ,\lambda )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \eta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \lambda }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \eta }}\right).$

Cette formule fournit le résultat de la combinaison de deux intégrales $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ en fonction des résultats obtenus par la combinaison des intégrales dont $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dépendent ; elle nous sera fort utile.

III.

Lorsque l’on connaît deux intégrales, que nous désignerons, pour abréger, par le nom des constantes $\alpha$ et $\beta$ qui y figurent, il peut arriver, de deux manières différentes, que le résultat de leur combinaison ne fournisse pas une intégrale nouvelle. Cela aura lieu, en effet, si l’expression $(\alpha ,\beta )$ est identiquement constante, et si, sans être identiquement constante, elle est fonction