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NOTES.

On a d’ailleurs

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i'}}}=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial p_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial p_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}},\\{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i'}}}=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial q_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial q_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}},\\\end{aligned}}$

en vertu de ces relations, les équations (6) et (7) peuvent s’écrire

(8)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}\right)=0,$

(9)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial pq{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}\right)=0,$

et l’on aurait de même

(10)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}-{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}\right)=0,$

(11)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial pq{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}-{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}\right)=0.$

Si l’on déduit des équations (8), (9), (10), (11) les valeurs de ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i'}}},\,{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i'}}},$ ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{i'}}},\,{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i'}}},$ pour toutes les valeurs de l’indice $i,$ et qu’on les reporte dans l’équation (5) que nous voulons démontrer, on obtiendra une identité, comme on s’en assure bien simplement en remarquant qu’après cette substitution tous les termes du second membre contiennent en facteur une seconde dérivée de la fonction $\mathrm {H} \,;$ en réunissant les termes qui correspondent à la même dérivée, on verra qu’ils sont au nombre de quatre et se détruisent deux. On en conclut

${\frac {d(\alpha ,\beta )}{dt}}=0$

et, par suite,

$(\alpha ,\beta )=\mathrm {const.} ,$

ce qui est précisémentle théorème de Poisson.

Si $(\alpha ,\beta )$ est une fonction des variables $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ que l’on ne puisse pas considérer comme fonction de $\alpha$ et de $\beta ,$ cette équation $(\alpha ,\beta )=\mathrm {const} .$ sera une troisième intégrale que l’on pourra combiner avec les deux intégrales $\alpha$ et $\beta ,$ de manière à former une nouvelle expression constante qui, dans certains cas, pourra être une quatrième intégrale, et ainsi de