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NOTES.

les équations différentielles de ce problème. Si l’on suppose connues deux intégrales de ce système d’équations, contenant chacune une constante arbitraire et résolues par rapport à ces constantes,

(2)

$\alpha =\varphi \left(q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},t\right),$

(3)

$\beta =\psi \left(q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},t\right),$

le théorème de Poisson consiste en ce que l’expression

(4)

${\frac {\partial \alpha }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{1}}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{2}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{k}}},$

qu’il désigne par $(\alpha ,\beta ),$ conserve une valeur constante pendant la durée du mouvement ; en sorte que, si l’équation

$(\alpha ,\beta )=\mathrm {const} .$

n’est pas une identité, elle sera une intégrale du système d’équations différentielles proposé.

Pour démontrer cette proposition, nous allons former la dérivée de l’expression $(\alpha ,\beta )$ et vérifier qu’elle est nulle ; on a

(5)

${\frac {d(\alpha ,\beta )}{dt}}=\sum \left({\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}\right).$

Or, $\alpha$ et $\beta$ étant des intégrales du système (1), ${\frac {d\alpha }{dt}}$ et ${\frac {d\beta }{dt}}$ sont nuls identiquement lorsque l’on a égard à ces équations, et l’on a

${\frac {\partial \alpha }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=0,\qquad {\frac {\partial \beta }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=0\,;$

si l’on différentie ces deux équations par rapport à $p_{i'}$ et à $q_{i'},$ $i'$ désignant un indice quelconque, on aura

(6)

${\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial p_{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}\right)=0,$

(7)

${\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial q_{i'}}}+\sum \left({\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {H} }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}\right)=0,$

et deux autres équations qui ne différeraient de celles-là que par le changement de $\alpha$ en $\beta .$