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NOTES.
on en déduit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {V} a=&+\int _{0}^{t}\left(p_{1}\delta q'_{1}+p_{2}\delta q'_{2}+\ldots +p_{n}\delta q'_{n}\right)dt\\&+\int _{0}^{t}\left(q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccc26bb254e4424cd9e83cc015411bb957f7cfb)
le signe
se rapportant à la variation de toutes les constantes qui figurent dans ![{\displaystyle q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{n},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d96f4d4c101c60b85c1fd713ca3ec521dcf3d2)
En intégrant par parties les termes de la première intégrale, et remarquant que
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {V} &=\\&\int _{0}^{t}\left(-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt\\&+\left(p'_{1}\delta q_{1}+p'_{2}\delta q_{2}+\ldots +p'_{n}\delta q_{n}\right)_{0}^{t},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5477fd5ab48a19b25f15961f6d0bd261331c6c)
les indices
et
placés après les parenthèses indiquant qu’il faut y remplacer successivement le temps par
et
et faire la différence des deux résultats. Or, d’après les équations différentielles du mouvement, on a évidemment
![{\displaystyle -\delta \mathrm {H} =-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04142234dc5f2931512c0d5fcd1ecfe20263ea2f)
en sorte que,
étant constant en vertu du principe des forces vives, l’équation précédente devient
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} =-t\,\delta \mathrm {H} +p_{1}\delta q_{1}+p_{2}\delta q_{2}+\ldots +p_{n}\delta q_{n}-p_{1}^{0}\delta q_{1}^{0}-p_{2}^{0}\delta q_{2}^{0}-\ldots -p_{n}^{0}\delta q_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90f5e821a3a6abadc479cadb4beaf353ad4bb56)
Si donc on considère
comme une fonction de
et de
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}}}=&p_{1},&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}}}=&p_{2},&&\ldots ,&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}}}=&p_{n},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}^{0}}}=&-p_{1}^{0},\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}^{0}}}=&-p_{2}^{0},\quad &&\ldots ,\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}^{0}}}=&-p_{n}^{0},\quad &\mathrm {\frac {\partial V}{\partial H}} =&-t.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b20829ae7608adbf9f0c8288b8b2bf05b3fdf2)
Ces équations peuvent être considérées comme la solution complète du problème proposé, qui sera, par conséquent, résolu si l’on parvient à déterminer la fonction caractéristique
satisfait comme
à une équation différentielle partielle dont une seule intégrale complète suffit pour résoudre le problème. Mais nous renverrons, pour l’étude de cette équation, au Mémoire de Jacobi, qui a traité avec développement le cas d’un système libre ; le