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NOTES.

on en déduit

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} a=&+\int _{0}^{t}\left(p_{1}\delta q'_{1}+p_{2}\delta q'_{2}+\ldots +p_{n}\delta q'_{n}\right)dt\\&+\int _{0}^{t}\left(q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt,\end{aligned}}$

le signe $\delta$ se rapportant à la variation de toutes les constantes qui figurent dans $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{n},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}.$

En intégrant par parties les termes de la première intégrale, et remarquant que $\delta q'_{1}={\frac {d\,\delta q_{1}}{dt}},$ il vient

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} &=\\&\int _{0}^{t}\left(-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt\\&+\left(p'_{1}\delta q_{1}+p'_{2}\delta q_{2}+\ldots +p'_{n}\delta q_{n}\right)_{0}^{t},\end{aligned}}$

les indices $0$ et $t$ placés après les parenthèses indiquant qu’il faut y remplacer successivement le temps par $0$ et $t,$ et faire la différence des deux résultats. Or, d’après les équations différentielles du mouvement, on a évidemment

$-\delta \mathrm {H} =-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\,;$

en sorte que, $\delta \mathrm {H}$ étant constant en vertu du principe des forces vives, l’équation précédente devient

$\delta \mathrm {V} =-t\,\delta \mathrm {H} +p_{1}\delta q_{1}+p_{2}\delta q_{2}+\ldots +p_{n}\delta q_{n}-p_{1}^{0}\delta q_{1}^{0}-p_{2}^{0}\delta q_{2}^{0}-\ldots -p_{n}^{0}\delta q_{n}^{0}.$

Si donc on considère $\mathrm {V}$ comme une fonction de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{n},$ $q_{1}^{0},\,q_{2}^{0},\,\ldots ,\,q_{n}^{0},$ et de $\mathrm {H} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{5}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}}}=&p_{1},&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}}}=&p_{2},&&\ldots ,&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}}}=&p_{n},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}^{0}}}=&-p_{1}^{0},\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}^{0}}}=&-p_{2}^{0},\quad &&\ldots ,\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}^{0}}}=&-p_{n}^{0},\quad &\mathrm {\frac {\partial V}{\partial H}} =&-t.\end{alignedat}}$

Ces équations peuvent être considérées comme la solution complète du problème proposé, qui sera, par conséquent, résolu si l’on parvient à déterminer la fonction caractéristique $\mathrm {V} \,;$ $\mathrm {V}$ satisfait comme $\mathrm {S}$ à une équation différentielle partielle dont une seule intégrale complète suffit pour résoudre le problème. Mais nous renverrons, pour l’étude de cette équation, au Mémoire de Jacobi, qui a traité avec développement le cas d’un système libre ; le