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NOTES.

Or on peut, en vertu des relations (14), enlever les parenthèses qui entourent ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},$ et l’on a enfin

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\mathrm {\partial (U-T)} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}.$

C’est précisément la relation que nous voulions établir ; on obtiendrait des valeurs analogues pour ${\frac {dp_{2}}{dt}},\,\ldots ,\,{\frac {dp_{k}}{dt}},$ et il est prouvé, par conséquent, que toutes les équations du mouvement sont satisfaites par le système des relations (5).

L’idée de substituér à la fonction $\mathrm {S}$ de M. Hamilton l’une quelconque des intégrales de l’équation à laquelle elle satisfait est due à Jacobi^[1]. La démonstration a été développée par lui dans le cas d’un système sans liaisons. Plusieurs géomètres ont traité depuis la même question, mais je crois la démonstration précédente plus simple que celles qui avaient été données jusqu’ici.

V.

M. Hamilton nomme la fonction $\mathrm {S} ,$ à laquelle se rapportent les calculs précédents, la fonction principale du problème. Il a considéré, en outre, une autre fonction qu’il nomme caractéristigue, et que nous désignerons par $\mathrm {V} .$ Nous croyons devoir placer ici la définition de cette fonction $\mathrm {V}$ et l’indication de sa propriété la plus importante. C’est elle qui s’est présentée d’abord à M. Hamilton, et c’est en l’étudiant qu’il est, je crois, le plus facile d’apercevoir les idées qui l’ont guidé.

La fonction $\mathrm {V}$ n’est autre chose que l’intégrale $\int _{0}^{t}dt\sum mv^{2}$ que l’on considère dans le principe de la moindre action, de telle sorte qu’en cherchant à démontrer ce principe on peut être conduit de la manière la plus naturelle, comme on va le voir, à la belle découverte de M. Hamilton.

D’après la notation adoptée dans cette Note, on a

$\mathrm {V} =\int _{0}^{t}2\mathrm {T} dt=\int _{0}^{t}\left(p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{n}q'_{n}\right)dt\,;$

1. Journal de Crelle, t. 17.