Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/499

481

NOTES.

substitution de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}$ à des quantités qui leur sont égales en vertu des équations (14). Les formules (15) forment une moitié des équations différentielles du mouvement, qui sont, par conséquent, satisfaites.

Les équations qui, jointes au système (15), représentent les conditions complètes du problème sont les suivantes :

(16)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad {\frac {dp_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dp_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}.$

Pour montrer qu’elles sont également satisfaites, différentions par rapport à $t$ les équations (14) ; les résultats obtenus seront de la forme

(17)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}q'_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{k}}}q'_{k},$

ou, en remplaçant $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ par leurs valeurs ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$

(18)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{k}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}.$

Différentions actuellement par rapport à $q_{1}$ l’équation

(19)

$\mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+(\mathrm {T} )\,;$

il viendra

(20)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+{\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial q_{1}}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right)&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial q_{1}}}\\&&+\ldots +\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial q_{1}}},\end{alignedat}}\right.$

ou, en remplaçant $\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right),\,\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right),\,\ldots$ par leurs valeurs $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$

(21)

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right)+q'_{1}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}+q'_{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial q_{1}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial q_{1}}}.$

En comparant les équations (17) et (21), on conclut

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}-\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right).$