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NOTES.

Pour indiquer cette transformation, nous placerons ces quantités entre des parenthèses. L’équation (9) deviendra alors

(11)

${\frac {\partial ^{2}(\mathrm {S} )}{\partial t\partial a_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}=0,$

à laquelle on pourra joindre $k-1$ équations que l’on formerait en changeant dans celle-ci $a_{1}$ en $a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{k}.$ Or, si l’on compare le système des équations ainsi obtenues avec celui dont l’équation (8) est le type, on en conclut que ce dernier sera satisfait par les valeurs suivantes des inconnues $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k}\,:$

(12)

$q'_{1}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right),\quad q'_{2}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right),\quad \ldots ,\quad q'_{k}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right).$

Or, on a démontré [§ II, équation (5)] les relations

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}=q'_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}=q'_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}=q'_{k},$

en sorte que les formules précédentes peuvent s’écrire

(13)

$q'_{1}=(q'_{1}),\qquad q'_{2}=(q'_{2}),\qquad \ldots ,\qquad q'_{k}=(q'_{k}),$

$(q'_{1}),\,(q'_{2}),\,\ldots ,\,(q'_{k})$ désignant ce que deviennent les expressions $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k},$ lorsque, après les avoir exprimées en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ on remplace ces dernières variables par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$ Supposons maintenant qu’en faisant subir cette transformation aux seconds membres des équations (12) on exprime en même temps, et par les formules mêmes dont on aura à faire usage, les premiers membres en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}\,;$ on formera un système d’équations dont les deux membres ne différeront que par le changement de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ en ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}},$ et dont on déduira, par conséquent,

(14)

$p_{1}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\qquad p_{2}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad p_{k}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$

Si nous revenons actuellement aux équations (12), on peut les écrire

(15)

$q'_{1}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\qquad q'_{2}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad q'_{k}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$

en supprimant les parenthèses qui n’ont plus d’autre objet que d’indiquer la