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NOTES.

équations différentielles du mouvement sont

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {dp_{1}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {dp_{2}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dp_{k}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}},\\{\frac {dq_{1}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad &{\frac {dq_{2}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dq_{k}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}},\end{alignedat}}\right.$

dans lesquelles $\mathrm {H}$ désigne la différence $\mathrm {U-T} .$ $\mathrm {U}$ ne contenant pas $p_{1},\,p_{2},$ $\ldots ,\,p_{k},$ on a

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}=-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},$

en sorte que la seconde ligne des équations (6) peut s’écrire

(7)

${\frac {dq_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}.$

Nous commencerons par montrer que ces équations (7) peuvent se déduite du système des équations (5).

En différentiant ces équations (5) par rapport à $t,$ nous aurons

(8)

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}q'_{k}=0,$

à laquelle il faudra adjoindre $k-1$ équations que l’on formera en changeant dans celle-ci $a_{1}$ en $a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{k}.$ Le système des $k$ équations ainsi obtenues donnera les valeurs de $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ qui résultent des relations (5).

Or, en différentiant par rapport à $a_{1}$ l’équation (3), à laquelle $\mathrm {S}$ satisfait identiquement, il vient

(9)

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial a_{1}}}+{\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}=0,$

${\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}$ désignant ici la dérivée par rapport à $a_{1}$ de l’expression dans laquelle se transforme $\mathrm {T} ,$ lorsque l’on y remplace $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},$ $\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$ On a évidemment, d’après cela,

(10)

${\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}\,;$

et, dans le second membre de cette équation, il faudra encore transformer ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$ en y remplaçant $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},$ $\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$