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NOTES.

qui n’en diffère que par le changement de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}$ en $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ changement dont l’effet sera détruit par le changement inverse que l’on doit faire à la fin du calcul. Or, la fonction $\mathrm {T}$ étant homogène du second degré par rapport à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a, identiquement,

$2\mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}q'_{2}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}q'_{k}=p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{k}q'_{k}\,;$

en sorte que l’équation (2), à laquelle satisfait la fonction $\mathrm {S} ,$ peut s’écrire symboliquement

$\mathrm {U+T} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+2\mathrm {T} ,$

c’est-à-dire

(3)

$\mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+(\mathrm {T} ),$

les parenthèses qui entourent $\mathrm {T}$ indiquant que cette fonction doit être exprimée en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ et que ces variables seront ensuite remplacées par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$

L’équation (3) admettra une infinité de solutions contenant chacune $k$ constantes arbitraires, et que Lagrange nomme les intégrales complètes. L’une de ces intégrales sera la fonction $\mathrm {S}$ que nous avons définie dans le paragraphe précédent ; mais nous allons montrer que toute autre intégrale complète peut remplacer celle-là et fournir la solution du problème de Mécanique dont on s’occupe.

Soit, en effet,

(4)

$\mathrm {S} =\operatorname {F} \left(t,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{k}\right)$

une telle intégrale, satisfaisant identiquement à l’équation (3) et contenant $k$ constantes arbitraires ; si l’on pose

(5)

${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{1}}}=b_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{2}}}=b_{2},\qquad \ldots \qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{k}}}=b_{k},$

je dis que l’on aura la solution complète du problème proposé, et que ces équations (5) fourniront les valeurs de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ en fonction de $t$ et de $2k$ constantes arbitraires. Pour le démontrer, rappelons-nous que les